Курсовая работа: Теорема Дирихле
Теорема 2. Если c – неглавный характер, то L(1, c)≠0
Для доказательства рассмотрим 2 случая
1. Пусть характер c – комплексное число, не является действительным. Тогда характер c2 (n) не является главным. В этом случае доказательство теоремы будет основываться на тех же идеях, что и доказательство отсутствия нулей дзета – функции на прямой ReS=1.
Лемма7. Пусть 0<ч< 1, а х – действительное число, тогда выполняется неравенство /(1 – ч )3 (1 – че ix )4 (1 – че2 ix )/-1 ≥ 1
Доказательство.
Для всех z из круга /z/<1 имеет место расположение
– ln (1 – z) =
(2.11)
Так как ln(t) = Relnt, то обозначая М (ч φ), левую часть неравенства (2.11), получим
lnM(ч φ) = 3ln(1 – ч ) – 4 ln (1 – че i 4 ) – ln (1 – че2 i 4 ) = – 3ln(1-ч ) – 4Reln/1 – че i 4 / – Reln/1 – че2 i 4 /=rc(3+4e)inl /1-rei 4 /= (3+4cosnl+2cos2nl)= (2+4cosa+1+cos2a)=1 (1+cosa)2 ³0
ln=M(r, l)=³0
Следовательно, M(r, l)=³1 доказана.
Из леммы 7 следует, сто при любом действительном S>1 выполняется равенство:
| L 3 (8, c1 ) L 4 ( S , c) 4 ( S , c4 ) 1 = П (1- 
)3 (1- 
)4 (1- 
)|-1 (2.12)
Получая в лемме ч = р - s , т.е.
0< ч = c1 (р) <1
0< р - s <1
c (р) р- s = че i 4 , в силу того что c (р) – комплексное
c (р) р- s = че2 i 4
Получаем, что каждый сомножитель в правой части равенства (f) не меньше 1 и, следовательно, при любом S>1 выполняется равенство:
|L3 (Sc1 ) · L4 (Sc) L(Sc2 )| ≥ 1 (2.13)
Допустим, что для некоторого характера c (c2 ≠c1 ) выполняется равенство
L (1, c) = 0 (2.14)
Оценим сверху левую часть неравенства. Из оценки дзета-функции Римана
ξ(S) ≤ 
, следует, что при S € R, S>1 выполняется неравенство
а) 0 < 4 (S, c1 ) = 
получили 0<L(S, c1 )≤
б) Функция L(S, c) разложим в ряд Тейлора
L (S, c) = Cp + C1 (S – 1) + C2 (S – 1)2 +… + Cn (S – 1)n +…
Предположим, что у нее есть нуль L(1, c) = 1; тогда С0 = 0