Курсовая работа: Теорема Дирихле

(2.22)

Во всех случаях числа a_ni ³0, а значит, и a_n =a_n 1 … a_nm ³0

Если же число п является полным квадратом, то

N=k² =p_/ ^{2 g} … p_m ^{2 g ,}

и из равенств (2.20) и (2.22) следует, что а_n ³1

При любом s > 0 в области ReS> 1 +s выполняется неравенство

Ряд (2.18) сходится в области ReS > 1. Поэтому по признаку Вейерштрасса ряд (2.16) сходится равномерно в области ReS > 1 + s, а по теореме Вейерштрасса его можно в этой области почленно дифференцировать любое число раз. Следовательно, в области ReS > 1 +s выполняется равенство (2. 17), а в силу произвольности s оно выполняется и в области ReS > 1.

Однако ряд (39) расходится, так как по второму утверждению леммы

Ряд (2.16) при S = имеет неотрицательные члены. Поэтому, если бы он сходился, то также сходился бы ряд

(2.23)

Следовательно, ряд (2.23) расходится. Лемма доказана.

Переходим непоредственно к доказательству второго случая теоремы. Допустим, что L (1,c) = 0. Тогда полюс дзета-функции будет компенсироваться в произведении S(S) L (S, c) нулем функции L (S, c).

Поэтому функция (2.15) F(S) будет аналитической в области ReS > 0 так как в точке S=1 у F(z) – устраненная особая точка. Следовательно, ее можно разложить в ряд Тейлора в точке S = 2:

(2. 24)

радиус сходимости которого не меньше 2 R³2/

Из равенств (2.17), в частности S=2, находим

(2.25)

В радиусе сходимости будет брать не все S, а только вещественные ReS=sS=sÎ(0,2). Пользуясь разложениями (18) и (19), находим

Члены двойного ряда неотрицательны, поэтому он сходится абсолютно, и в нем можно поменять порядок суммирования. Тогда

Следовательно, ряд (2.16) сходится во всех точках, s < (, 0, 2), и в точке , а это противоречит четвертому утверждению леммы. Поэтому L(S,c)¹0/

Этим завершается доказательство теоремы

По следствию 2 леммы 2 функция является аналитической в области ReS > 1. Для дальнейшего доказательства теоремы Дирихле нам будет необходимо представление этой функции в виде ряда, аналогичного ряда (2.16).

Лемма. Для каждого характера c(n) в области ReS > 1 справедливо равенство

(2.26)

Доказательство.