Курсовая работа: Теорема Дирихле

В свою очередь 0£ к_х + k_y – n£n-1 Þk_x +k_y – n=k_xy , h₁ h_x h_y = h_xy .

χ (XY) = ξ_j ^{k х+ k у} χ_н (h_{x у)} = ξ_j ^{k х + k у – n} χ_н (h₁ ) χ_н (h_x ) χ_н (h_y ) = ξ_j ^кх ξ_j ^ку ξ_j ^{– n} χ_н (h₁ ) χ_н (h_x ) χ_н (h_y ) = ξ_j ^кх χ_н (h_1х ) · ξ_j ^ку χ_н (h_y ) = χ (X) χ(Y).

Лемма доказана.

5. Характеры конечной мультипликативной абелевой группы G образуют конечную мультипликативную абелевую группу Ĝ.

Под произведением двух характеров χ' и х χ'' группы G будем понимать характер х, определяемый следующим свойством:

χ (AB) = χ' (A) χ'' (В)

Для любого элемента АÎG, имеем:

χ (АВ) = χ' (АВ) χ'' (АВ) = χ' (А) χ' (В) · χ'' (А) χ'' (В) = χ(А) χ(В)

Таким образом, получаем χ ' χ '' действительно является характером.

Роль единичного элемента группы G играет главный характер χ₁

Обратным элементом G является:

χ₂ (g₁ g₂ ) = == = χ₂ (g₁ ) χ₂ (g₁ )

1.2 Суммы характеров. Соотношение ортогональности

Пусть G – конечная мультипликативная абелева группа порядка h. Рассмотрим сумму:

S = ,

где А пробегает все элементы G, и сумму

Т =

где c пробегает все элементы группы характеров Ĝ.

Рассмотрим чему равна каждая из сумм.

а) Если В-фиксированный элемент группы G и А пробегает все элементы G, то АВ также пробегает все элементы группы G. Следовательно,

S·c (В) = c (В) = = = S.

Получили Sc (В) = S, откуда следует, что (c (В) – 1)·S = 0. Следовательно, возможны два варианта:

1) S = 0, то c (В) – негативный характер

2) S≠0, то c (В) = 1 для каждого элемента В€Gи в этом случае c (В)= c₁ (В) есть главный характер и сумма S равна порядку h группы G. Таким образом,

S = = {(1.2)

б) Если мы умножим сумму Т на некоторый характер c’ группы Ĝ, то аналогичным образом получим

c’ (А) Т = c’ (А) = = Т,

Следовательно,

1) или Т = 0, то А ≠Е

2) или Т ≠ 0, то c’ (А) = 1 для каждого характера c’€ G. В этом случае согласно свойству 3§ 1, имеем А=Е. И тогда Т=h. Таким образом,