Курсовая работа: Теорема Дирихле

Действительно, если бы χ (А) =0 для некоторого АÎG , то

c (А) χ (А^-1 )= c (АА^-1 )= χ (Е)=0,

а это противоречит свойству 1.

3 . Если группа G имеет порядок h, то А^h =Е для каждого элемента АÎG Следовательно,

1= χ (Е)= χ (А^h )= χ (А)^h ,

то есть χ (А) есть некоторый корень степени h из единицы.

Характер χ_1, обладающий свойством χ₁ (А)=1 для каждого элемента АÎG, называется главным характером группы G . Остальные характеры называются неглавными.

Лемма 1. Пусть Н подгруппа конечной абелевой группы G , причем G / H – циклическая порядка n , тогда для каждого характера χ_H – подгруппы Н существует ровно n характеров.

Доказательство . Рассмотрим группу G = g^k H , причем gⁿ H=H, gⁿ ÎH и gⁿ =h₁ =1.

Для каждого элемента XÎG существует и притом единственное к=к_х и h_х =h такое, что если 0£ к_х <n, то X= g^{k х} h_х =g^k h. Возьмем еще один элемент группы G , Y= g^m h_y , где 0£m<n. Перемножим эти два элемента

ХY= g^{к+ m} hh_y .

Определим характер χ (X).

χ (X)= χ (g^к h)= χ (g^к ) χ (n)= χ ^к (g) χ_H (h).

В данном выражении неизвестным является χ (g).

χⁿ (g)= χ (gⁿ )= χ (h₁ )= χ_H (h₁ ) – данное число.

χ ( g )= – n корней из 1,

то есть ξ_ј ⁿ =χⁿ (g)= χ_H (h₁ ), получаем x^k (g)= ξ_ј ⁿ . Следовательно, x(g)= ξ₁ , …, ξ_n

Из полученных равенств получаем:

χ (X)= χ^k (g) χ_H (h_x )= ξ_j ^kx χ_H (h_x )

χ (Y)= χ^m (g) χ_H (h_y )= ξ_j ^ky χ_H (h_y )

Определим умножение характеров

χ (X) χ (Y)= ξ_j ^ky χ_H (h_y ) ξ_j ^{k - x} χ_H (h_x )= ξ_j ^{kx + ky} χ_H (h_x ) χ_H (h_y )= _j ^{k + m} χ_H (hh_y )

Для того чтобы определение выполнялось, необходимо рассмотреть степень g^{kx + kx} . Возможны два случая:

1) Если 0£ к_х + k_y <n, то

к_х + k_y = k_{xy ,} ; h_x h_y = h_{xy .}

В этом случае определение выполняется.

2) Если n£ к_х + k_y <2n-1, то получим

к_х + k_y = n + k_{xy .} .

Тогда