Курсовая работа: Теоретический анализ модели комплексного числа

,

т.е. .

Из (1) следует правила сложения и умножения:

(2)

Установим взаимно-однозначное соответствие между комплексными числами и матрицами .

Из (2) вытекает, что соответствие сохраняется при выполнении арифметических операций. Следовательно, поле комплексных чисел изоморфно М; т.е. множество М является моделью поля комплексных чисел.

Представим матрицы в виде , где .

Так как , то существует такой угол , что . Отсюда .

Известно, что такие матрицы определяют последовательное выполнение поворота плоскости вокруг начала координат и растяжение плоскости с центром в начале координат с коэффициентом растяжения ρ. Таким образом, получено истолкование комплексного числа как хорошо известное преобразование плоскости.

Рассмотрим еще одну модель. Пусть М – множество многочленов одного переменного над полем действительных чисел. Множество М есть коммутативное кольцо. Будем говорить, что два многочлена и находятся в отношении (обозначим ), если делится на многочлен . Очевидно, что тогда и только тогда, когда равны остатки от деления на . Отмечу, что остатки будут многочлены первой степени.

Теорема 6.1. Если и , то и .

Доказательство. Преобразуем . Каждая скобка делится на , следовательно, сумма делится на . Таким образом, . Аналогично доказывается для суммы.

Указанное отношение является отношением эквивалентности, ибо выполняются свойства:

1) рефлексивности: ;

2) симметричности: если , то ;

3) транзитивности: если и , то .

Отсюда следует, что кольцо многочленов распадается на непересекающиеся классы эквивалентных многочленов. Все многочлены одного класса имеют равные остатки от деления на , т.е. остаток (многочлена ) является характеристикой класса. Определим множество К, элементами и которого являются классы эквивалентных многочленов.

Сумма и произведение определяются следующим образом. Выбирают любые два многочлена , . Вычисляют и и находят классы, которым принадлежат сумма и произведение. Пусть . Тогда полагают . Согласно теореме 1, сумма и произведение не зависят от выбора представителей . Поэтому в качестве представителя будем всегда брать многочлен (единственный для данного класса) первой степени. Итак, множество К состоит только из многочленов первой степени.

Пусть . Произведение . Найдем класс, которому принадлежит произведение, т.е. остаток от деления его на . Очевидно, , и остаток равен .

Следовательно, произведение вычисляется по правилу .

Сумма .

Тем самым показано, что взаимно-однозначное соответствие между комплексными числами и элементами множества К устанавливает их изоморфизм. Итак, множество К есть поле комплексных чисел. Многочлен х играет роль мнимой единицы i и является решением уравнения .

Примеры.

Разберем несколько примеров моделей комплексных чисел.

№1.

Пусть М – множество всех матриц второго порядка над полем действительных чисел вида . Докажите, что множество М относительно операций сложения и умножения матриц изоморфно полю всех комплексных чисел С.

Решение:

комплексный действительный число матрица