Курсовая работа: Тригонометрические уравнения и неравенства

Так как корни уравнения не являются корнями уравнения, то из полученных множеств решений следует исключить . Значит во множестве нужно исключить .

Ответ. и , .

Пример Решить уравнение .

Решение. Преобразуем выражение :

Уравнение запишется в виде:

Принимая , получаем . , . Следовательно

Ответ. .

Сведение тригонометрических уравнений к алгебраическим

Сводящиеся к квадратным

Если уравнение имеет вид

то замена приводит его к квадратному, поскольку () и .

Если вместо слагаемого будет , то нужная замена будет .

Уравнение

сводится к квадратному уравнению

представлением как . Легко проверить, что при которых , не являются корнями уравнения, и, сделав замену , уравнение сводится к квадратному.

Пример Решить уравнение .

Решение. Перенесем в левую часть, заменим ее на , и выразим через и .

После упрощений получим: . Разделим почленно на , сделаем замену :

Возвращаясь к , найдем .

Уравнения, однородные относительно ,

Рассмотрим уравнение вида

где , , , ..., , --- действительные числа. В каждом слагаемом левой части уравнения степени одночленов равны , т. е. сумма степеней синуса и косинуса одна и та же и равна . Такое уравнение называется однородным относительно и , а число называется показателем однородности .

Ясно, что если , то уравнение примет вид: