Курсовая работа: Уравнение Дирака в квантовой теории

Транспонированный тензор обозначают как .

Симметричным называют такой тензор, транспонированный к которому совпадает с исходным:

Тензор называют обратным к , если его скалярное произведение на дает единичный тензор. Такой тензор обозначают как :

Ортогональным называют тензор , обратный к которому тензор совпадает с транспонированным .

1. Уравнение Дирака

В начале XX века, пытаясь преодолеть трудности с отрицательными плотностями вероятности в уравнении Клейна-Гордона, которое выглядит следующим образом:

(1.1)

Дирак открыл релятивистское уравнение, которое теперь называют в его честь. Долгое время после открытия уравнения Дирака считали, что для частиц с массой это единственное правильное релятивистское волновое уравнение. И только после того, как Паули и Вайскопф дали новую интерпретацию уравнения Клейна-Гордона как уравнения для поля, это широко распространившееся мнение было опровергнуто. Но даже и теперь уравнение Дирака имеет особое значение, так как оно описывает частицы со спином , а спин имеют электроны и протоны (с понятием "спинор" познакомимся ниже). Многие другие "элементарные частицы" также обладают спином .

Соображения, которые привели Дирака к его уравнению, следующие. Для того, чтобы предотвратить появление отрицательных вероятностей, нужно, чтобы в выражении для плотности

(1.2)

не было производных по времени. Поэтому волновое уравнение должно содержать производные по времени не выше первого порядка. Но релятивистская ковариантность требует полной симметрии по всем пространственным и временным координатам. Поэтому нужно, чтобы в волновое уравнение входили производные только первого порядка и по пространственным переменным. Таким образом, волновая функция Дирака должна удовлетворять линейному дифференциальному уравнению первого порядка по всем четырем координатам. Линейность уравнения нужна, чтобы удовлетворить принципу суперпозиции квантовой механики. Если мы хотим, чтобы волновая функция описывала свободную частицу с массой m, то нужно потребовать, чтобы она подчинялась уравнению

(1.3)

Где

оператор Даламбера, так как уравнение означает, что между энергией и импульсом свободной частицы выполняется соотношение и что в согласии с принципом соответствия имеется предельный переход к случаю классической теории относительности.

Аналогичная ситуация встречается и электродинамике, где уравнения Максвелла являются уравнениями первого порядка, связывающими компоненты напряженностей поля. В то же время каждая компонента электрической и магнитной напряженностей подчиняется волновому уравнению. Волновое уравнение в электродинамике является уравнением второго порядка, не содержащим массового члена, что свидетельствует о нулевой массе покоя фотона.

Предположим, что имеет N компонент , причем мы заранее не фиксируем значение N. Наиболее общим линейным уравнением первого порядка является уравнение, выражающее временную производную одной компоненты в виде линейной комбинации всех компонент и их пространственных производных. Если подставить соответствующие размерные множители, то наиболее общее уравнение можно записать в виде

(1.4)

На основе предположения об однородности пространства-времени и являются безразмерными константами, не зависящими от пространственно-временных координат . Естественный способ упрощения вида этих уравнений состоит в использовании матричной записи, которая позволяет представить систему уравнений (1.4) в виде

(1.5)

В этом уравнении есть матрица-столбец с N строками, а и – матрицы, имеющие по N строк и столбцов. Уравнение (1.5) и известно как уравнение Дирака.

Теперь найдем выражения для плотности и тока, которые соответствуют уравнению (1.5). Так как мы хотим сохранить для привычное определение, то полагаем

(1.6а)

или в матричной записи

(1.6б)

где – величина, эрмитово сопряженная , а следовательно, являющаяся матрицей-строкой, содержащей одну строку и N столбцов. Выражения (1.6) для плотности явно положительны определены и, таким образом, отвечают основным требованиям Дирака. Далее потребуем, чтобы удовлетворяла уравнению неразрывности

(1.7)