Курсовая работа: Уравнение Дирака в квантовой теории

(1.30)

С помощью "сопряженной" волновой функции , определенно согласно

(1.31)

выражение для тока записывается в виде

(1.32)

Аналогично через матрицы записывается и плотность

(1.33)

Уравнение для сопряженной функции получают из уравнения (1.8), вставляя в каждом члене справа от множитель и используя затем соотношения (1.11), (1.12) и (1.23). В естественной системе единиц это уравнение запишется так:

(1.34)

2. Матрица Дирака. Свойства матриц Дирака

Матрицы образуют совокупность гиперкомплексных чисел, удовлетворяющих перестановочным соотношениям .

Рассмотрим 16 элементов:

Все другие произведения матриц с помощью перестановочных соотношений могут быть сведены к одной из шестнадцати. Множитель i вставлен для того, чтобы квадрат каждого элемента был равен +1. Обозначим элементы в выписанном порядке при помощи (l=1, 2, …,16). Замечаем, что с точностью до множителей или произведение любых двух элементов всегда равно третьему. Для каждого элемента , за исключением , всегда можно найти такой элемент , что . Это утверждение мы докажем, но для этого укажем элемент для каждого . Так, для l=2, …,5, т.е. для элементов второй строки списка, ; в случае третьей строки, например, элементу соответствует , так как ; для всей четвертой строки , а для пятой в качестве можно выбрать, например, . Отсюда следует, что след любой матрицы с равен нулю, так как

Шестнадцать элементов линейно независимы, другими словами, равенство справедливо только тогда, когда все .

Докажем. Вычисляя след от , получим . Аналогично, последовательно умножая уравнение на каждую из и вычисляя след, получаем, что , что и требовалось доказать. Отсюда следует, что гиперкомплексные числа нельзя представить матрицами размерности, меньшей , так как при меньшей размерности не существует 16 линейно независимых матриц. Обратно, можно представить матрицами, размерностью , потому что среди этих матриц имеется ровно 16 линейно независимых (так как число элементов матрицы равно 16). Это представление (как и все ему эквивалентные) оказывается неприводимым. Любое другое представление может быть приведено к виду

где – матрицы размерности .

Из линейной независимости следует, что всякая матрица X может быть записана в виде

(2.1)

Где

(2.2)

Так как -матрицы неприводимы, то по лемме Шура следует, что любая матрица, коммутирующая со всеми матрицами , кратна единичной матрице.

На самом деле. Пусть X будет матрицей, коммутирующей со всеми матрицами , а следовательно, и со всеми . Представим X в виде