Курсовая работа: Уравнение Дирака в квантовой теории

В практических приложениях нет необходимости использовать явное представление для и ; достаточно знать, что они эрмитовы и обладают свойствами (1.16) – (1.18). Более того, при решении задач удобнее обходиться без явного вида матриц. Однако их явное представление легко можно получить. Прежде всего замечаем, что размерность N должна быть четной.

На самом деле. Перепишем соотношение (1.17) в виде

(1.19)

где I – единичная матрица. Взяв детерминант от обеих частей равенства (1.19), получим

(1.20)

где учтено, что . Отсюда , и число N должно быть четным.

Придадим уравнению Дирака ковариантный вид. В записи

(1.5)

для уравнения Дирака пространственные производные умножены на матрицы, а временные нет. Чтобы устранить это неравноправие, умножим уравнение (1.5) слева на матрицу :

(1.21)

Уравнение примет более симметричный вид, если ввести матрицы

(1.22)

(1.23)

Отметим, что при таком определении матрица эрмитова и ,а матрицы – антиэрмитовы, то есть , и . Отсюда следует, что матрицы удовлетворяют перестановочным соотношениям

(1.24)

С помощью -матриц уравнение (1.21) записывается в виде

(1.25)

где снова использовано соглашение о суммировании. Уравнение (1.25) и является ковариантной формой уравнения Дирака, в которой пространственные и временные производные входят равноправно.

Для упрощения полученного уравнения введем обозначения. Обозначим при помощи величину

(1.26)

где матрицы определяются согласно

(1.27)

С помощью этого обозначения и в естественной системе единиц уравнение Дирака записывается в виде

(1.28)

Где

(1.29)

Ток и плотность можно записать с помощью матриц следующим образом. Умножая равенство (1.23) на матрицу слева, находим , а поэтому ток

(1.14)