Курсовая работа: Вивчення поняття "символ О"

2.1 Асимптотичне рішення трансцендентних рівнянь: дійсного змінного

Приклад 1.

Розглянемо рівняння

x +th x = u,

де u - дійсний параметр, - гіперболічний тангенс [6], , х і th x – безперервні, строго зростаючі функції на всій числовій прямій.

Знайдемо асимптотичне наближення для кореня:

1). Функція u(x) = x +th x безперервна й строго монотонна на R. По теоремі О безперервність зворотної функції, існує зворотна до неї функція х(і), безперервна й строго монотонна на Е_и = R.

Тому що при х®¥ і(х)®¥, те при й®¥ х(і)®¥.

Нехай і®¥, тоді х®¥ і .

Виходить, х(і) ~ і, при й®¥. Це перше асимптотичне наближення для кореня.

2). Приведемо рівняння до виду:

x = і - th x.

+З, де З – деяка константа. По визначенню символу О thx = 1+O(1).

x = і – 1 + О(1) - це друге асимптотичне наближення кореня.

3). Доведемо, що е^-2х = О(е^-2і ):(2.1.1)

підставимо друге асимптотичне наближення кореня

е^-2х = е^{-2(і – 1 + О(1))} = е^-2і × е² × е^О(1) = (по 1.2.3 і 1.2.9) = е² О(е^-2і )(1 + О(1))×=

(по 1.2.3) = е² О(е^-2і )(2О(1)) = (по 1.2.6 і 1.2.4) = О(е^-2і ).

Розкладемо th x у ряд [6], зручний при більших х:

th x = 1 – 2е^-2х + 2е^-4х – 2е^-6х +…(х > 0)

Тоді по теоремі [3]:(2.1.2)

якщо ряд сходиться при , тоді для фіксованого n у будь-якому колі , де .Ряд – 2е^-2х + 2е^-4х – 2е^-6х +…сходиться при х > 0, тобто і його сума дорівнює th x - 1. Виходить, по теоремі: th x - 1 = О(е^-2х) , тобто th x=О(е^-2х) +1.Тоді x = і - th x = і – 1 + О(е^-2х) = (по 2.1.1) = і – 1 + О(О(е^-2і )) =(по 1.2.5) = і – 1 + О(е^-2і ).Таким чином, x = і – 1 + О(е^-2і ) - цей третє асимптотичне наближення кореня.

4). Доведемо, що е^-2х = е^-2і+2 + О(е^-4і ):(2.1.3)підставимо третє асимптотичне наближення кореня

(по 1.2.9)

(по 1.2.6)

(по 1.2.3 і 1.2.4) .

Ряд 2е^-4х – 2е^-6х + 2е^-8х – 2е^-10х +…сходиться при х > 0, тобто і його сума дорівнює th x – 1 + 2е^-2х . Виходить, по теоремі: th x – 1 + 2е^-2х = О(е^-4х) , тобто th x=О(е^-4х) +1 - 2е^-2х .

Тоді