Курсовая работа: Вивчення поняття відносин залежності
Непуста впорядкована множина, у якому кожне лінійно впорядкована підмножина має верхню грань, має максимальний елемент.
Далі доцільно розглянути деякі приклади відносини залежності:
Приклад 1.
Поняття лінійної залежності у векторному просторі V над полем . Система векторів векторного простору V називається лінійно залежної , якщо існує кінцева лінійно залежна її підсистема, у противному випадку – лінійно незалежної .
Поняття лінійної залежності в кінцеве мірних векторних просторах дається в курсі алгебри. Кінцева система векторів V називається лінійно залежної , якщо існують елементи поля
одночасно не рівні нулю й такі, що лінійна комбінація
. Множина лінійних комбінацій множини
векторів векторного простору V з коефіцієнтами з поля P називається лінійною оболонкою цих векторів і позначається
. При цьому
- є підпростором у просторі V , породженим
. Одержуємо транзитивне відношення залежності.
Приклад 2.
Нехай поле є розширенням основного поля Р, а
мінімальне підкольце утримуючі елементи
й поле Р. Підкольце
складається із всіх елементів поля
, які виражаються через елементи
й елементи поля Р за допомогою додавання, вирахування й множення: це будуть усілякі багаточлени від
з коефіцієнтами з поля Р. Тоді, якщо для всякого елемента
існує єдиний запис у вигляді багаточлена від
як невідомих з коефіцієнтами з поля Р, тобто якщо різні багаточлени від
будуть різними елементами підкольца
, те система елементів
, буде називатися алгебраїчно незалежної над полем Р, у противному випадку алгебраїчно залежної . Довільна множина елементів поля Р називається залежним , якщо воно містить кінцеву залежну підмножину. У першому випадку кільце
ізоморфно кільцю багаточленів
. Відношення алгебраїчної залежності над полем Р є транзитивним відношенням залежності.
Приклад 3.
Нехай на множині A задане рефлексивне й симетричне бінарне відношення (називане відношенням подібності). Підмножина X множини A будемо вважати залежним , якщо воно містить два різних елементи, що перебувають у відношенні
.
Оболонкою множини служить множина
У цьому випадку можна підсилити аксіому відносини залежності в такий спосіб:
Z
Z.
Тоді оболонкою множини буде множина всіх елементів, що перебувають відносно подібності хоча б з одним елементом із множини
.
Уведене відношення залежності буде транзитивним тоді й тільки тоді, коли відповідне бінарне відношення буде транзитивне, тобто є відношенням еквівалентності на
.
У випадку, коли - відношення еквівалентності
буде незалежним тоді й тільки тоді, коли
множина
містить не більше одного елемента. Будь-яка максимальна незалежна підмножина буде містити рівно по одному елементі з кожного класу еквівалентності
.
Приклад 4.
Розглянемо чотирьох елементну множину .
Назвемо підмножину множини
залежним тоді й тільки тоді, коли
або
.
Z .
Розглянемо підмножину множини
, по уведеному визначенню воно буде незалежно. Розглянемо оболонку множини
й знайдемо оболонку оболонки нашої множини
. Таким чином, ми одержали
, тобто розглянуте нами відношення залежності не є транзитивним.
Приклад 5.
Розглянемо довільну множину й
. Множина
будемо вважати залежним , якщо
B (А)\ B (В), тобто
, але
. Таким чином, одержали наступний транзитивний простір залежності:
B (А)\ B (В.
Оболонкою
буде множина
.
Зокрема можна розглянути 2 випадки:
, тобто всі множини незалежні, тоді
.