Математика / Курсовая работа: Вивчення поняття відносин залежності

Курсовая работа: Вивчення поняття відносин залежності

Якщо r = 0 або s = 0 , то або , і . Тому можна припускати, що r ≥ 1, s ≥ 1 , без обмеження спільності будемо вважати, що r > s , так що насправді r > 1 .

Припустимо, що базиси будуть рівне потужними для будь-якого t < r

По лемі про заміну множина можна доповнити до базису D елементами базису З , скажемо

, t ≤ s < r.

Тепер перетинання D c У складається з n + 1 елемента, і D містить, крім того, ще t (< r) елементів, тоді як У містить, крім цього перетинання, ще r - 1 елементів, так що по припущенню індукції , тобто .

Оскільки r > 1 , звідси випливає, що t ≥ 1 , і тому перетинання D із Із містить не менше ніж n+1 елементів. Використовуючи ще раз припущення індукції, знаходимо, що й, отже, r = s і базиси В и С рівне потужні.

Далі, нехай В - кінцевий базис в. Тоді й будь-який інший базис Із простору буде кінцевим. Дійсно, У виражається через кінцеву множину елементів у силу транзитивності буде що породжує й незалежною множиною в , тобто .

Нарешті, якщо базиси В и С нескінченні. Кожний елемент із У залежить від деякої кінцевої підмножини базису З , і навпаки. Потужність множини всіх кінцевих підмножин усякої нескінченної множини дорівнює потужності самої множини. Тому потужності В и С збігаються.

Теорема 4 .

Нехай Z - довільний простір залежності, тоді наступні умови еквівалентні

Z транзитивне;

для будь-якого кінцевого ;

кінцевих і Z

Z ;

для будь-якого кінцевого .

Доказ:

(i) (ii) Справедливо по теоремі 3 і прикладу 7.

(ii) (iii) Візьмемо , так що - незалежно й . Допустимо, що твердження Z невірно. Тоді Z. Розглянемо . Маємо . Але Z , тому Z . По (ii) маємо . Але - протиріччя.

(iii) (ii) Доведемо від противного. Нехай . Можна вважати, що . Тоді по (iii) незалежно. Одержали протиріччя з максимальністю

(iii) (i) Потрібно довести рівність для довільного .

Візьмемо й покажемо, що Тому що , те Нехай існує , тоді незалежно й існує Z і Z . Розширюючи в можна припустити, що По (ii) , тобто . Тому по (iii) Z . бачимо, що . Виходить, . Одержуємо протиріччя з тим, що Отже, , те мережа .

Тепер досить показати, що . Нехай , тоді залежно, розширюючи в можна припустити, що , крім того , тоді по (ii) . незалежно, тому . По (iii) Z . бачимо, що . Виходить, , одержали протиріччя з максимальністю . Отже, , зворотне включення очевидно, тому .