Курсовая работа: Вивчення поняття відносин залежності

Доказ:

Візьмемо порожню множину, вона незалежне. По властивості максимальності воно повинне втримуватися в деякій максимальній незалежній множині, що по теоремі 1 є базисом.

3. Транзитивність

Особливий інтерес представляють транзитивні простори залежності. Важливим результатом є доказ інваріантності розмірності будь-якого транзитивного простору залежності.

Доведемо деякі властивості , справедливі для транзитивних просторів залежності Z .

Властивість 1: залежить від .

Доказ:

залежить від , тобто , і . Розглянемо , тоді - незалежно й - залежно, а , одержуємо, що , тому . Маємо .

По визначенню 8 будь-яка підмножина залежить від

Властивість 2: Якщо залежить від , а залежить від , те залежить від .

Доказ:

Запишемо умову, використовуючи властивість 1 , а , тоді очевидно, що .

Властивість 3: Якщо X — мінімальна множина, що породжує, в A, те X - базис в A.

Доказ:

Нехай X — мінімальна множина, що породжує, в A. Покажемо, що воно не може бути залежним, тому що в цьому випадку його можна було б замінити власною підмножиною, що усе ще породжує A . Дійсно, у силу транзитивності відносини залежності, будь-яка множина, що породжує множина X, буде так само породжувати й множина A . Отже, X - незалежна множина, що породжує, що по визначенню 6 є базисом.

Властивість 4: для кожного .

Доказ: Потрібне із властивості 3.

Властивість 5 (про заміну.) :

Якщо X — незалежна множина й Y — множина, що породжує, в A, то існує така підмножина множини Y, що й - базис для A.

Доказ:

Розглянемо систему J таких незалежних підмножин Z множини A, що .

Тому що X незалежно, те такі множини існують; крім того, якщо — деяке лінійно впорядкована множина множин з J, те його об'єднання знову належить J, оскільки Z задовольняє умові , і якщо Z залежне, те деяка кінцева підмножина множини Z повинне було б бути залежним; ця підмножина втримувалося б у деякій множині в суперечності з тим фактом, що всі незалежні.

По лемі Цорна J має максимальний елемент М; у силу максимальності кожний елемент множини Y або належить М, або залежить від М, звідки . Цим доведено, що М — базис в A. Тому що , те М має вигляд , де задовольняє умовам .■

Визначення 11.

Простір залежності Z називається кінцеве мірним, якщо будь-яке його незалежна множина кінцева.

Теорема 3 .

Нехай Z - транзитивний простір залежності. Тоді будь-які два базиси в цьому просторі рівно потужні.

Доказ:

Розглянемо спочатку випадок кінцеве мірного простору .