Курсовая работа: Вивчення систем з постійною парною частиною

Звідки треба

2. Основні відомості з теорії функцій, що відбивають

Розглянемо систему

(1)

уважаючи, що її права частина безперервна й має безперервні частки похідні по . Загальне рішення цієї системи у формі Коші позначимо через . Через позначимо інтервал існування рішення

Нехай

Визначення: функцією, що відбиває, (1) системи назвемо функцію

обумовлену формулою

(2)

або формулами

Для функції, що відбиває, справедливі властивості:

1) Для будь-якого рішення

системи (1) вірна тотожність

(3)

2) Для функції, що відображає, будь-якої системи виконані тотожності:

(4)

3) Диференцюєма функція

буде функцією, що відбиває, (1) системи тоді й тільки тоді, коли вона задовольняє рівнянням у частинних похідних

(5)

і початковій умові

(6)

Рівняння (5) будемо називати основним рівнянням (основним співвідношенням) для функції, що відбиває.

Доказ. Властивість 1) треба безпосередньо з визначення (2). Для доказу властивості 2) помітимо, що відповідно до властивості 1) для будь-якого рішення системи (1) вірні тотожності