Курсовая работа: Вивчення систем з постійною парною частиною
а) Функція безупинно диференцюєма, і тому, задача Коші для системи (8) має єдине рішення;
б) Права частина системи (8) -періодична по
.
Лема 8 Нехай система (8) задовольняє умовам а) і б). Тоді продовжині на відрізок рішення
цієї системи буде
-періодичним тоді й тільки тоді, коли
– є непарна частина рішення .
Доказ. Нехай –
-періодичне рішення системи (8). Тоді
Необхідність доведена.
Нехай – рішення системи (8), для якого
. Тоді
і тому
Таким чином, крапка є нерухлива крапка відображення за період, а рішення
–
-періодичне.
Доведена лема, питання про періодичність рішення
зводить до обчислення одного зі значень непарної частини . Іноді відносно
можна сказати більше, ніж про саме рішення
. Це дозволяє в таких випадках робити різні висновки щодо існування періодичних рішень у систем виду (8). Диференцуємі функції
задовольняють деякій системі диференціальних рівнянь. Перш, ніж виписати цю систему, помітимо:
(9)
тому що
рішення системи (8). Заміняючи в тотожності (9) на
й з огляду на, що похідна парної функції – функція непарна, а похідна непарної функції – функція парна, одержуємо тотожність
(10)
З тотожностей (9) і (10) знайдемо похідні:
У такий спосіб вектор-функція
(11)