Це і є наближене диференціальне рівняння вигнутої осі балки. Воно дає цілком задовільні результати для більш твердих балок. Навіть при прогинах, рівної 1/10 довжини балки, погрішність досягає не більш 1,5 %.

Мал. 2 Мал. 3

Правило знаків для М(х) встановлено і не залежить від напрямку координатних осей якщо убік позитивної осі у звернена увігнутість кривої і - якщо випуклість (мал. 3).

Умовимося надалі завжди вісь у направляти нагору («+» — при напрямку у нагору, «—» — при напрямку вниз) і диференціальне рівняння (7) писати у виді

(8)

Для одержання з диференціального рівняння вигнутої осі рівняння прогинів у = f (x) необхідно зробити інтегрування рівняння (8).

Інтегруючи один раз, одержимо

Інтегруючи друг раз, маємо

Таким чином, одержимо рівняння кутів повороту

(9)

і рівняння прогинів

(10)

Мал. 4

де С и D — довільні постійні інтегрування, для визначення яких необхідно мати принаймні хоча б дві умови де відомі значення функції у і її похідної. Ці умови називаються граничними умовами задачі.

Установимо граничні умови для консольної і простої балки (мал. 4). Незалежно від дії зовнішнього навантаження для кожної балки знайдемо дві граничні умови, з огляду на способи закріплення балки на кінцях.

1. Для консольної балки (мал. 4, а) прогин на лівому кінці дорівнює нулю; також дорівнює нулю кут нахилу дотичної q до осі. Таким чином, маємо наступні граничні умови:

(11)

2 Для двохопорної балки (мал. 8.4 б) прогини на кінцях А и В звертаються в нуль. Одержуємо такі умови:

(12)

Визначивши з граничних умов (11) і (12) довільні постійні С и D і підставивши їх у рівняння (9) і (10), одержимо остаточне рівняння пружної лінії і кута повороту.

3. Інтегрування диференціального рівняння вигнутої осі балки, затисненої одним кінцем

Приклад 1. Розглянемо балку, зображену на мал. 5. Систему координат виберемо так, як показано на малюнку.

Диференціальне рівняння вигнутої осі має вид

чи (13)

Згинальний момент у перетині х від початку координат дорівнює М (х) = – Р (I – х) (реакція А = Р, а момент у закладенні М = –Р1). Тоді рівняння (13) приймає вид

(14)