Курсовая работа: Визначення деформації балок при згині

Курсова робота на тему

Визначення деформації балок при згині

1. Прогин і поворот перерізу балки

До проектуємих частин споруджень пред'являються вимоги не тільки до міцності, але і до твердості, тобто щоб їхні пружні деформації під дією навантаження були як можна меншими (у результаті великого прогину валів порушується правильність зачеплення зубчастих чи коліс виникають кромочні навантаження в підшипниках ковзання й ін.). Вивчення деформацій також необхідно при рішенні статично невизначених задач.

На мал. 1 зображена в перекрученому масштабі скривлена вісь балки, затисненої одним кінцем і завантаженої на іншому кінці зосередженою силою. Початок системи координат розташуємо в одній із крапок первісної осі балки, яку завжди будемо вибирати за вісь х; вісь у будемо направляти перпендикулярно до первісної осі балки нагору. Центр ваги О якого-небудь перетину з абсцисою х переміщається в точку O₁ . Переміщення у центра ваги перетину по напрямку, перпендикулярному до осі балки, називається прогином балки в цьому перетині, чи прогином цього перетину балки. Оскільки прогини у звичайно малі в порівнянні з довжиною балки, то зсувом точки O₁ (нейтральний шар не змінює своєї довжини при вигині) убік від перпендикуляра до осі балки можна зневажити як величиною вже 2-го порядку малості. Тоді рівняння вигнутої осі балки буде

Y = f (x) (1)

Мал. 1.

Найбільший прогин може служити мірилом того, наскільки спотворюється форма конструкції при дії зовнішніх сил (прогини, що допускаються, у залежності від призначення конструкції коливаються в межах частки прольоту).

При деформації балки перетин, залишаючись плоским, повертається стосовно свого колишнього положення (1). Кут q, на який кожен перетин повертається стосовно свого первісного положення, називається кутом повороту перетину. Дотична до вигнутої осі балки (1) у точці O₁ складе з віссю х кут, рівний q, тобто це кут повороту поперечного переріза щодо первісного положення. З іншого боку, тангенс кута, утвореного дотичної до кривої у = /(х) з віссю х, дорівнює

(2)

На практиці прогини звичайно дуже малі, при цьому кути q також дуже малі, тому можна прийняти tg q == q і тоді (2) запишемо так:

(3)

тобто кут повороту перетину дорівнює першої похідної х від прогину у в цьому перетині.

Таким чином, вивчення деформації балки зводиться до одержання рівняння вигнутої осі у == f (х), а вже потім простим диференціюванням обчислимо кут повороту (3). Варто пам'ятати, що по своїй фізичній сутності пружна лінія вигнутої осі балки повинна бути кривою неперервною і гладкою, що рівнозначно вимозі, щоб функція у == f (х) і її перша похідна

були неперервні усюди протягом осі балки.

2. Диференціальне рівняння вигнутої осі балки

Для того щоб визначити у == f (х), необхідно установити залежність деформації балки від зовнішніх сил, розмірів і матеріалу балки. При перебуванні нормальних і дотичних напружень у балці при вигині прийнята наступна формула:

(4)

де р (х) — радіус кривизни ділянки вигнутої осі балки між двома суміжними перетинами на відстані х від початку координат; М (х) — згинальний момент у тім же перетині; EJ — твердість балки. Вплив Q (х) на деформацію балки невеликий, про що буде сказано нижче.

Зміна радіуса кривизни в залежності від зміни згинаючого моменту показана на мал. 2.

Для одержання рівняння вигнутої осі балки скористаємося відомим з диференціального числення вираженням кривизни кривої

(5)

Зіставляючи вираження (4) і (5), знайдемо залежність між х, у, М(х), EJ

(8.6)

Це і є диференціальне рівняння вигнутої осі. Рівняння (6) — звичайне нелінійне диференціальне рівняння другого порядку, що інтегрується в еліптичній і інших спеціальних функціях. Способи інтегрування таких рівнянь викладені в курсах теорії пружності. У практичних додатках звичайно користаються наближеним рівнянням. Прогини звичайно малі, при цьому кути нахилу дотичних також малі. Якщо навіть припустити, що кут нахилу перетину досяг 1°, то

tg 1°

Значення це настільки мале в порівнянні із одиницею, яка знаходиться в знаменнику лівої частини вираження (6), що їм можна зневажити. Тоді рівняння (6) спрощується

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--