Реферат: Атомические разложения функций в пространстве Харди

В §II.1 рассматривается пространство . Как ранее отмечалось, оно уже, чем . Поэтому в данном параграфе большой интерес представляет теорема - критерий принадлежности функции пространству . Здесь вводится понятие атома: действительная функция называется атомом, если существует обобщенный интервал такой, что

а) ; б) ; в) .

Атомом назовем также функцию , . Под обобщенным интервалом понимается либо интервал из , либо множество вида ().

Данный параграф посвящен аналогу теоремы, доказанной в 1974 году Р.Койфманом о том, что функция тогда и только тогда, когда функция допускает представление в виде

, , где , , - атомы. (*)

При этом , где inf берется по всем разложениям вида (*) функции , а с и С - абсолютные константы.

Роль атомических разложений заключается в том, что они в ряде случаев позволяют свести вывод глубоких фактов к относительно простым действиям с атомами.

В частночти, из атомического разложения функций, принадлежащих пространству , легко вытекает полученный в 1971 году Ч.Фефферманом результат о двойственности пространств и . Доказательству этого факта и посвящен второй параграф данной главы. Сперва мы вводим определение : пространство ВМО есть совокупность всех функций , удовлетворяющих условию

, (91)

где , а sup берется по всем обобщенным интервалам . А затем доказываем теорему о том, что .

Глава I.

Основные сведения об интеграле Пуассона и

пространствах , и

§I.1.Интеграл Пуассона.

Пусть ¦(x ) , g (x ) , x ÎR¹ –суммируемые на [-p, p] , 2p- периодические, комплекснозначные функции. Через f*g(x) будем обозначать свертку

f*g(x) =dt

Из теоремы Фубини следует, что свертка суммируемых функций также суммируема на [-p,p] и

c_n ( f*g ) = c_n ( f )× c_-n ( g ) , n = 0, ±1 , ±2 , ... ( 1 )

где { c_n ( f )} - коэффициенты Фурье функции f ( x ) :

c_n (f)= ^{-i n t} dt , n = 0, ±1, ±2,¼

Пусть ¦ Î L¹ (-p, p ) . Рассмотрим при 0 £ r < 1 функцию

¦_r ( x ) = _n ( f ) r^{| n |} e^{i n x} , x Î [ -p, p ] . ( 2 )

Так как для любых x Î [ -p, p ], n = 0, ±1, ±2,¼, а ряд сходится (так как согласно теореме Мерсера [4] коэффициенты Фурье любой суммируемой функции по ортогональной системе ограниченных в совокупности функций стремятся к нулю при ), то по признаку Вейерштрасса ряд в правой части равенства (2) сходится равномерно по х для любого фиксированного r , 0 £ r < 1 . Коэффициенты Фурье функции ¦_r (х) равны c_n ( f_r ) = c_n (f)× r^{| n |} , n = 0 , ±1, ±2, ¼ , а это значит, что ¦_r ( x ) можно представить в виде свертки :

¦_r ( x ) = , ( 3 )

где

, t Î [ -p, p ] . ( 4 )

Функция двух переменных Р_r (t) , 0 £ r <1 , t Î [ -p, p ] , называется ядром Пуассона , а интеграл (3) - интегралом Пуассона .

Следовательно,