Реферат: Атомические разложения функций в пространстве Харди

Действительно, аналитичность функции F (z) следует из (16) и равенства (2). Кроме того, в силу неравенства мы имеем

(*)

С другой стороны , по теореме 1 ( а при р=¥ в силу теоремы 2)

. Отсюда (**)

Учитывая (*) и (**) , получим (18).

Ниже мы докажем, что любую функцию можно представить в виде (17). Для этого нам потребуется

Теорема 3.

Пусть комплекснозначная функция j (t) имеет ограниченную вариацию на [ -p,p] и

(19)

Тогда j (t) абсолютно непрерывна на [-p,p].

Замечание2.

В (19) и ниже рассматривается интеграл Лебега-Стилтьеса, построенный по комплекснозначной функции ограниченной вариации j (t) . Мы говорим, что

j (t)= u (t)+ i v (t) имеет ограниченную вариацию (абсолютно непрерывна), если обе действительные функции u (t) и v (t) имеют ограниченную вариацию (соответственно абсолютно непрерывны). При этом интеграл

определен для каждой непрерывной на [-p,p] функции f (t) , а также если

- характеристическая функция замкнутого множества .

Доказательство теоремы 3.

Нам достаточно проверить, что для любого замкнутого множества ,

,

(20)

Для этой цели убедимся, что справедлива

Лемма 1.

Пусть F - замкнутое, а V - открытое множества , причем и

. Тогда для всякого , существует функция вида

, (21)

обладающая свойствами:

а) ;

б) ; (22)

в) .