Реферат: Атомические разложения функций в пространстве Харди

В силу (3) и свойства б) ядра Пуассона

. ( 12 )

Для любой функции , пользуясь неравенством Гельдера и положительностью ядра Пуассона , находим

.

Следовательно,

.

Для данного e > 0 найдем d = d (e) такое, что . Тогда для r , достаточно близких к единице, из свойств а)-в) мы получим оценку

.

Аналогично, второе утверждение теоремы 1 вытекает из неравенства

.

Теорема 1 доказана.

Дадим определения понятий "максимальная функция" и "оператор слабого типа", которые понадобятся нам в ходе доказательства следующей теоремы.

ОпределениеI.1.

Пусть функция , суммируема на любом интервале (a,b), a<b, . Максимальной функцией для функции называется функция

,

где супремум берется по всем интервалам I , содержащим точку х.

Определение I.2.

Оператор называется оператором слабого типа (р,р) , если для любого y > 0

, .

Теорема 2 (Фату).

Пусть - комплекснозначная функция из . Тогда

для п.в. .

Доказательство.

Покажем, что для и

, ( 13 )

где С - абсолютная константа , а M ( f, x ) - максимальная функция для f (x) *) . Для этой цели используем легко выводимую из (5) оценку

(К - абсолютная константа).