Реферат: Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Данный параграф разбит на пункты, в которых мы попробуем прийти к самому общему доказательству, для случая k последовательностей с n числом переменных, с помощью метода математической индукции.

2.1 Доказательство неравенств с минимальным числом переменных

а₁ *b₁ – неравенство с минимальным числом переменных. Тогда

= a₁ b_1.

Так как это неравенство минимальное из всех существующих, то сравнивать с похожим неравенством его просто невозможно.

2.2 Случай с двумя последовательностями из двух переменных

Если = a₁ b₁ . то =а₁ b₁ +а₂ b₂

Теорема 1. Пусть (а₁ а₂₎ (b ₁ b ₂ ) – одномонотонные последовательности. Тогда

Доказательство

Действительно,

– =a₁ b₁ +a₂ b₂ -a₁ b₂ -a₂ b₁ = (a₁ -a₂ ) (b₁ -b₂ )

Так как последовательности (а₁ а₂ )(b₁ b₂ ) одномонотонны, то числа a₁ -a₂ и b₁ -b₂ имеют одинаковый знак. Поэтому

(a₁ -a₂ )(b₁ -b₂ ) 0.

Теорема доказана.

Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 1

Упражнение №1 .

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство

a³ +b³ a² b+b² a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a³ +b³ =, a² b+b² a =

А так как последовательности (a² , b² ), (a, b) одномонотонны, то

А это значит, что a³ +b³ a² b+b² a.

Что и требовалось доказать.

Докажем это же неравенство, но другим способом.