Реферат: Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Теорема 2. Пусть (а₁ а₂ а₃ ), (b₁ b₂ b ₃ ) – одномонотонные последовательности и ()( здесь и в дальнейшем) любая перестановка чисел b₁ b₂ b ₃ . Тогда

.

Доказательство.

Действительно, если последовательность отличается от (b₁ b₂ b₃ ) то найдется пара чисел k, l (1k<l3) такая, что последовательности (a_k , a_l ) и (b_k , b_l ) не одномонотонны. Значит, поменяв местами числа и , мы увеличим всю сумму, а значит и всю сумму . То есть

, так как .

Очевидно, что за конечное число попарных перестановок элементов 2-ой строки можно получить одномонотонную последовательность.

Теорема доказана

Упражнения

Данные ниже упражнения мы решим с помощью Теоремы 2

Упражнение №1.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

a³ +b³ +c³ a² b+b² c+c² a.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

a³ +b³ +c³ =, a² b+b² c+c² a =

А так как последовательности (a² , b² , c² ), (a, b , c) одномонотонны, то

.

А это значит, что a³ +b³ +c³ a² b+b² c+c² a.

Что и требовалось доказать.

Упражнение №2.

Пусть a и b и c – положительные вещественныечисла.

Докажите неравенство.

.

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

и (a, b, c) и () одномонотонные последовательности, то

,