Реферат: Доказательства неравенств с помощью одномонотонных последовательностей

Значит a³ +b³ a² b+b² a.

Что и требовалось доказать.

Мы не можем сказать какой из методов доказательства решения легче, так как в данном случае оба метода решения неравенства примерно одинаковые по сложности.

Упражнение №2 .

Пусть a и b – положительные вещественные числа.

Доказать неравенство.

а² +b² .

Доказательство.

Заметим, прежде всего, что

а² +b² =, ,

А так как последовательности (), () одномонотонны, то

.

Что и требовалось доказать.

2.3 Случай с двумя последовательностями из трех переменных

Рассмотрим последовательность (а₁ ,а₂ ,а₃ ) и (b ₁ , b₂ ,b₃ ), и запишем в виде таблицы

Если последовательность (а₁ ,а₂ ,а₃ )(b₁ , b₂ ,b₃ ) записанных в виде таблицы, где наибольшее из чисел а₁ ,а₂ ,а₃ находиться над наибольшим из чисел b ₁ ,b₂ ,b₃ , а второе по величине а₁ ,а₂ ,а₃ находиться над вторым по величине из чисел b ₁ ,b₂ ,b₃ , и где наименьшее из чисел а₁ ,а₂ ,а₃ находиться над наименьшим из чисел b ₁ ,b₂ ,b₃ то последовательность одномонотонная.

Если =a₁ b₁ , и =а₁ b₁ +а₂ b₂ , то =а₁ b₁ +а₂ b₂ +a₃ b₃

Для доказательства следующих теорем нам понадобится одно свойство одномонотонных последовательностей, которое оформим в виде леммы.

Лемма. Если (а₁ , а₂ , …а _n ) и (b ₁ , b₂ ,… b_n ) одномонотонные последовательности, то их произведение не изменится при перестановки местами столбцов.

Доказательство.

Рассмотрим последовательность с двумя переменными из двух переменных.

=а₁ b₁ +а₂ b₂ .

Заметим, что а₁ b₁ +а₂ b₂ = а₂ b₂ + а₁ b₁ по переместительному свойству сложения. Значит, в самой таблице мы тоже можем переставлять столбцы переменных, при этом сохраняется одномонотонность последовательности. То есть

=

Теперь рассмотрим последовательность с двумя последовательностями из трех переменных.

=а₁ b₁ +а₂ b₂ +a₃ b₃ .

Кроме того, что мы можем поменять переменные по переместительному свойству, а по сочетательному свойству мы можем объединять некоторые слагаемые, сохраняя одномонотонность последовательности. То есть

а₁ b₁ +а₂ b₂ +a₃ b₃ = (a₃ b₃ +а₂ b₂ )+ а₁ b₁ =