Реферат: Экстремумы функций
II f’(x)<0 при х<х0 и f’(x)>0 при х>х0 , т. е. производная f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак минус на плюс. В этом случае аналогично убеждаемся, что в точке х0 функция имеет собственный минимум.
III f’(x)>0 как при х<х0 так и при х>х0 либо же f’(x) и слева и справа от х0 , т. е. при переходе через х0 , не меняет знака. Тогда функция либо всё время возрастает, либо всё время убывает; в любой юлизости от х0 с одной стороны найдутся точки х, в которых f(x)<f(x0 ), а с другой – точки х, в которых f(x)>f(x0 ) так что в точке х0 никакого экстремума нет.
Итак, мы получаем правило для испытания “подозрительного” значения х0 : подставляя в производную f’(x) сначала х<х0 , а затем х>х0 , устанавливаем знак производной вблизи от точки х0 слева и справа от неё; если при этом производная f’(x) меняет знак плюс на минус , то налицо максимум, если меняет знак с минуса на плюс, то – минимум ; если же знака не меняет, то экстремума вовсе нет.
Это правило полностью решает вопрос в том случае, когда в промежутке (а,b), как это обычно бывает, всего лишь конечное число стационарных точек или точек, где отсутствует конечная производная:
a<х1 <х2 <… <хk <хk+1 <… <хn <b (3.1)
именно ,тогда прежде всего, в любом промежутке (а,х1 ), (х1 ,х2 ), … ,(хk ,хk+1 ), … ,(хn ,b) существует конечная производная f’(x) и, кроме того, в каждом таком промежутке f’(x) сохраняет постоянный знак.Действинельно, если бы f’(x) меняла знак, например, в промежутке (хk ,хk+1 ) , то по теореме Дарбу, она обращалась бы в нуль в некоторой точке между хk и хk+1 , что невозможно, поскольку все корни производной уже содержатся в ряду точек (3.1).
Последнее замечание бывает полезно в некоторах случаях на практике: знак производной f’(x) во всем промежутке (хk ,хk+1 ) определяется , если вычислить значение (или даже только установить знак) её в одной какой-либо точке этого промежутка.
3.2.2.Достаточное условие. Второй признак.
Нередко более удобным на практике оказывается другой признак существования экстремума, основанный на выяснении знака второй производной в стационарной точке.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 3.1:Если х0 есть стационарная точка функции f(x) и f’’(x)<0, то в точке х0 функция иммет максимум,а если f’’(x)>0 , то функция имеет в точке х0 минимум.
Доказательство: По определению второй производной
(f’(x)-f’(x0 )
f’’(x0 )=lim-------------
x-x0
По условию теоремы f’(x)=0. Поэтому
f’(x)
f’’=lim----------
x-x0
Допустим , что f’’(x)<0. Тогда по теореме о пределах функции найдётся такой интервал (x0 -,x0 +), в котором переменная величина f’(x)/(x-x0 ) сохраняет знак своего предела, т. е. выполняется неравенство
f’(x)
----------<0 (x0 - <x<x0 + )
x-x0
Отсюда следует,что f’(x)>0 , если х-х0 <0, или х>х0 , и f’(x)<0, если х-х0 >0, или х>х0 . На оснавании первого достаточного признака существования экстремума заключаем, что в точке х0 функция f(x) имеет максимум. Аналогично показывается, что условие f’’(x)>0 обеспечивает минимум функции f(x).
ч.т.д.
Таким образом получаем правило нахождения экстремумов (для дважды дифференцируемых функций):
1.Вычисляем первую производную f’(x) и из уравнения f’(x)=0 находим стационарные точки функции f(x).
2.Вычсляем вторую производную, и каждую стационарную точку х0 подвергаем испытанию:
- если f’’(x)>0, то х0 – точка минимума функции;
- если f’’(x)<0, то х0 – точка максимума функции.
Замечание 1 : если f’’(x)=0 ,то это правило теряет силу и нужно воспользоваться первым признаком нахождения экстремумов. При этом экстремум может существовать , а может и не существовать.
Однако в случае своей применимости второй признак окаывается весьма удобным : вместо рассмотрения знака функции f’(x) в точках, отличных от предполагаемой точки экстремума, он позволяет дать ответ по знаку функции f’’(x) в той же точке.
3.3.Использование высших производных.
В случае, когда f’’(x)=0 (f’(x)=0) экстремум может быть, а может и не быть. Рассмотрим общий случай.
Теорема 3.2:Пусть функция f:U(x0 ) R, определенная в окрестности U(x0 ) точки х0 , имеем в х0 производные до порядка n включительно (n>1).
Если f’(x0 )=…=f (n-1) (x0 )=0 и f(n) (x0 )=0 , то при n нечетном в х0 экстремума нет, а при n четном экстремум есть, причем это строгий локальный минимум, если f(n) (x0 )>0 , и строгий локальный максимум, если f (n) (x0 ).
Доказательство:Используя локальную фурмулу Тейлора
f(x)-f(x0 )=f(n) (x0 )(x-x0 )n + (x)(x-x0 )n (3.2)