Реферат: Экстремумы функций
Введём и здесь значения
fxixj ’’ (x1 0 ,x2 0 ,…,xn 0 )=aik (i,k=1,2,…,n) (4.2)
так что
fxixj ’’ (x1 0 +0 x1 , x2 0 +0 x2 ,…, xn 0 +0 xn )= aik + ik
и
ik 0 при x1 0,…, xn 0 (4.3)
Теперь интеесующее нас выражение можно написать в виде:
= { aik xi xk + ik xi xk } (4.4)
На первом месте в скобках здесь стоит второй дифференциал функции f в рассматриваемой точке : он представляет собой однородный одночлен второй степени или, как говорят, квадратичную форму от переменных x1 ,…,xn . От свойств этой квадратичной формы, как мы увидим, и зависит решение интересующего нас вопроса.
В высшей алгебре квадратичную форму
aik yi yk (aik = aki ) (4.5)
от переменных y1 ,…,yn называют определенной положительно (отрицательно), если она имеет положительные (отрицательные) значения при всех значениях аргументов, не равных одновременно нулю.
Необходимое и достаточное условие для того, чтобы форма (4.5) была определенной и положительной принадлежит Сильвестеру (J.J.Sylvester). Оно выражается цепью неравенств:
a11 a12 a11 a12 a13
a11 >0, a21 a22 , a21 a22 a23 >0,
a31 a32 a33
Так как определенная отрицательная форма с изменением знака всех её членов переходит в определенню положительную, и обратно, то отсюда легко найти и характеристику отицательной формы : она дается цепью неравенств, которая получается из написанной выше изменением смысла неравенств через одно (начиная с первого).
a11 a12 a11 a12 a13
a11 >0, a21 a22 a21 a22 a23 >0
a31 a32 a33
Следовательно, чтобы исследовать точку М(x0 ,y0 ,z0 ) на экстремум , надо исследовать квадратичную форму ( 4.5).
Сформулируем полученный результат в виде теоремы.
Теорема : Пусть в некоторой области, содержащей точку М(x0 ,y0 ,z0 ), функция f(x,y,z) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно; пусть кроме того, точка М(x0 ,y0 ,z0 ) является критической точкой функции f(x,y,z), т.е.
f(x0 ,y0 ,z0 )f(x0 ,y0 ,z0 )f(x0 ,y0 ,z0 )
--------------- =0, ---------------=0, ---------------=0
x y z
Тогда при x=x0 ,y=y0 ,z=z0 :
1) f(x,y,z) имеет максимум , если
2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2
---------------<0 , -------------------------------- - --------------- >0
x2 x2 y2 xy
2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2