Реферат: Экстремумы функций
Поскольку f(n) (x0 )=0,а (x) 0 при x x0 , сумма имеет знак fn (x0 ),когда х достаточно близок к х0 . Если n нечетно, то при переходе через х0 скобка (х-х0 )n меняет знак и тогда изменяется знак всей правой , а следовательно, и левой части равенства (3.3). Значит, при n=2k+1 экстремума нет.
Если n четно, то (x-x0 )n >0 при x=x0 и,следовательно, а малой окрестности точки х0 знак разности f(x)-f(x0 ), как видно из равенства (3.3), совпадает со знаком f(n) (x0 ) :
- пусть f(n) (x0 ),тогда в окрестности точки х0 f(x)>f(x0 ), т. е. в точке х0 – локальный минимум;
- пусть f(n) (x0 )>0,тогда f(x)>f(x0 ) ,т. е. в точке х0 локальный минимум. ч.т.д.
4.Экстремумы функций трех переменных.
4.1.Необходимые условия экстремума.
Пусть функция v=f(x,y,z) определена в области D и (x0 ,y0 ,z0 ) будет внутренней точкой этой области.
Говорят, что функция v=f(x,y,z) в точке (x0 ,y0 ,z0 ) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью
(x0 - ,x0 + , y0 - ,y0 + ,z0 - ,z0 + )
что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство
f(x,y,z)<f(x0 ,y0 ,z0 )
(>)
Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x0 ,y0 ,z0 ) выполнялось строгое неравенство
f(x,y,z)<f(x0 ,y0 ,z0 )
(>)
то говорят, что в точке (x0 ,y0 ,z0 ) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.
Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.
Предположим, что наша функция в некоторой точке (x0 ,y0 ,z0 ) имеет экстремум,
Покажем, что если в этой точке существуют (конечные) частные производные
fx ’(x0 ,y0 ,z0 ), fy ’(x0 ,y0 ,z0 ) ,fz ’(x0 ,y0 ,z0 )
то все эти частные производные равны нулю, так что обращение в нуль частных производныхпервого порядка является необходимым условием существования экстремума.
С этой целью положим y= y0 ,z= z0 сохраняя х переменным ; тогда у нас получится функция от одной переменной х :
v=f(x, y0 ,z0 )
Так как мы предположили, что в точке (x0 ,y0 ,z0 ) существует экстремум (для определенности - пуcть это будет максимум), то, в частности, отсюда следует, что в некоторой окрестности (x0 - ,x0 + ) точки x=x0 , необходимо должно выполняться неравенство
f(x, y0 ,z0 )<f(x0 ,y0 ,z0 )
так что упомянутая выше функция одной переменной в точке будет иметь максимум, а отсюда по теореме Ферма следует, что
fx ’(x0 ,y0 ,z0 )=0
Таким образом можно показать, что в точке и остальные частные производные равны нулю.
Итак, “подозрительными” на экстремум являются те точки, в которых частные производные первого порядка все обращаются в нуль: их координаты можно найти, решив систему уравнений
fx ’(x,y,z)=0
fy ’(x,y,z)=0(4.2)
fz ’(x,y,z)=0
Как и в случае функции одной переменной, подобные точки называются стационарными.
4.2.Достаточное условие экстремума.
Как и в случае функции одной переменной, в стационарной точке вовсе не обеспечено наличие экстремума.Таким образом, встает вопрос об достаточных для существования (или отсутствия) экстремума в стационарной точке, то есть о том исследоовании, которому эта точка должна быть дополнительно подвергнута.
Предположим, что функция v=f(x,y,z) определена, непрерывна и имеет непрерывные частные производные первого и второго порядков в окрестности некоторой точки (x0 ,y0 ,z0 ), которая является стационарной, т.е. удовлетворяет условиям
fx ’(x0 ,y0 ,z0 )=0,fy ’(x0 ,y0 ,z0 )=0,fz ’(x0 ,y0 ,z0 )=0
Чтобы установить, действительно ли наша функция имеет в точке (x0 ,y0 ,z0 ) экстремум или нет, естественно обратимся к рассмотрению разности
= f(x,y,z)- f(x0 ,y0 ,z0 )
Разложим ее по формуле Тейлора,
= { fx ’’ x1 2 +fx ’’ x2 2 +…+fx ’’ xn 2 +2fx1x2 ’’ x1 x2 + +2fx1x3 ’’ x1 x3 +…+2fxn-1xn ’’ xn-1 xn }= fxixj ’’ xi xj
где x= xi -xi 0 ; производные все вычеслены в некоторой точке