Реферат: Экстремумы функций
-- ------------------------------- >0
x z y2
3)если
2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2
--------------- -------------------------------- - --------------- --
x2 x2 z2 y z
2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 )
-- --------------- -------------------------------- --
x y x y z2
2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 )
-- --------------------------------- +
x z y z
2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 )
+ --------------- -------------------------------- --
x z xy y z
2 f(x0 ,y0 ,z0 ) 2 f(x0 ,y0 ,z0 )
-- ------------------------------- =0
x z y2
то экстремум может быть , а может и не быть (в этом случае требуется дальнейшее исследование )
4) во всех остальных случаях f(x,y,z) не имеет ни максимума , ни минимума.
5.Экстремумы функций многих переменных.
5.1.Необходимые условия экстремума.
Пусть функция u=f(x1 ,x2 ,…,xn ) определена в области D и (x1 0 ,x2 0 ,…,xn 0 ) будет внутренней точкой этой области.
Говорят, что функция u=f(x1 ,x2 ,…,xn ) в точке (x1 0 ,x2 0 ,…,xn 0 ) имеет максимум (минимум), если её можно окружить такой окрестностью
(x1 0 x1 0 x2 0 x2 0 xn 0 xn 0 )
что бы для всех точек этой окрестности выполнялось неравенство
f(x1 ,x2 ,…,xn )<f(x1 0 ,x2 0 ,…,xn 0 )
(>)
Если эту окрестность взять настлько малой, что бы знак равенства был исключён, т. е. чтобы в каждой её точке, кроме самой точки (x1 0 ,x2 0 ,…,xn 0 ) выполнялось строгое неравенство
f(x1 ,x2 ,…,xn )<f(x1 0 ,x2 0 ,…,xn 0 )
(>)
то говорят, что в точке (x1 0 ,x2 0 ,…,xn 0 ) имеет место собственный максимум (минимум), в противном случае максимум (минимум) называют несобственным.
Для обозначения максимума и минимума (как и в случае одной переменной) употребляется общий термин – экстремум.
Предположим, что наша функция в некоторой точке (x1 0 ,x2 0 ,…,xn 0 ) имеет экстремум,