Реферат: Формула Шлетца

получаем :

dλ_j =λ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )W^k +λ_jk W^k

D(μ_j W^j +W-Q)=0

получаем :

dμ_j =μ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )W^k +μ_jk W^k

Итак, продолженная система дифференциальных уравнений отображения f имеет вид :

Q+W=λ_j W^j

Q-W=μ_j W^j

dλ_j =λ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )W^k +λ_jk W^k

dμ_j =μ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )W^k +μ_jk W^j

Из этих уравнений вытекает, что система величин Г₁ = {λ_j ,μ_j } является геометрическим объектом.Он называется фундаментальным геометрическим объектом первого порядка отображения f. Осуществим второе продолжение системы (2) :

dλ_k ^W_j ^k +λ_k dW_j ^k +1\4(λjμ_k -λ_k μ_j )^W^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )dW^k +dλ_jk ^W^k +λ_jk dW^k =0 .

получим:

(dλ_jt -λ_kt W_j ^k -λ_jk W_t ^k +1\4(λ_k μ_jt -μ_k λ_jk )W^k +1\16λ_t μ_k (λ_j -μ_j )W^k )^W^t =0

dμ_k ^W_j ^k +μ_k dW_j ^k +1\4d(λ_j μ_k -λ_k μ_j )^W^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )dW^k +dμ_jk ^W^k +μ_jk dW^k =0

получим:

(dμ_jt -μ_kt W_j ^k -μ_jt W_t ^k +1\4(λ_k μ_jt -μ_k λ_jt )W^k +1\16λ_t μ_k (λ_j -μ_j )W^k )^W^t =0

обозначим:

λ _j =dλ_j -λ_t W_j ^t

μ_j =dμ_j -μ_t W_j ^t

λ_jk =dλ_jk -λ_tk W_k ^t -λ_jt W_k ^t

μ_jk =dμ_tk W_j ^t -μ_jt W_k ^t

Тогда дважды продолженная система дифференциальных уравнений отображения fпримет вид:

Q+W=λ_j W^j

Q-W=μ_j W^j

dλ_j =λ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )W^k +λ_jk W^k

dμ_j =μ_k W_j ^k +1\4(λ_j μ_k -λ_k μ_j )W^k +μ_jk W^k (4)

λ_jk =(1\4(μ_α λ_jk -λ_α μ_jk )+1\16λ_k μ_α (μ_j -λ_j )+λ_jkα )W^α

μ_jk =(1\4(μ_α λ_jk -λ_α μ_jk )+1\16λ_k μ_α (μ_j -λ_j )+μ_jkα )W^α