Реферат: Формула Шлетца

V₁

V₂ рис.3.

Пусть g^jk =λ^j λ^k +μ^j μ^k (6.8)

В силу (2.7) имеем:

g^jt g_tk =(λ^j λ^t +μ^j μ^t )(λ_t λ_k +μ_t μ_k )=λ^j λ^k +μ^j μ^k =δ_k ^j (6^’ .9)

Таким образом, тензор g^jk является тензором взаимных к g_jk . Как известно, метрика ставит в соответствие каждому векторному полю поле ковектора и наоборот.

Предложение 7.2: Поле основного вектора {λ^j } (вектора {μ^j } )соответствует в метрике g полю основного ковектора {λ_j } (ковектора {μ_j } ).

Доказательство: Основные векторы ортогональны друг другу и имеют единичную длину в метрике g .

Доказательство:

λ^j λ^k g_jk =λ^j λ^k λ_j λ_k +λ^j λ^k μ_j μ_k =1 ,

μ^j μ_k g_jk =μ^j μ^k λ_j λ_k +μ^j μ^k μ_j μ_k =1 ,

λ^j μ^k g_jk =λ^j μ^k λ_j λ_k +λ^j μ^k μ_j μ^k =0 .

Таким образом, f задает на А₂ структуру риманова пространства ( A₂ ,g_f ).

В работе <2> был построен охват объекта

γ_jk ^l =1/2g^tl (g_tkj +g_jtk -g_jkt )

римановой связности γ фундаментальным объектом

Г₂ = {λ_j ,μ_j ,Λ_jk ,Μ_jk }

Он определяется формулой:

γ _jk ^l =λ^l Λ_jk +μ^l M_jk +G_jk (λ^l -μ^l )+1/2(λ^l +μ^l )(μ_j μ_k -λ_j λ_k ) ,

где G_jk =1/2(λ_j μ_k +λ_k μ_j ).