Реферат: Формула Шлетца

Г_Р = {λ_j ,μ_j ,λ_j1j2 ,μ_j1j2 ,...,λ_j1j2...jp ,μ_j1j2...jp }.

§ 4. Векторы и ковекторы первого порядка.

Из системы дифференциальных уравнений (5) вытекает, что система величин {λ_j },{μ_j } образует подобъекты геометрического объекта Г₁ . Будем называть их основными ковекторами 1-го порядка. Основные ковекторы определяют для каждой точки P две инвариантные прямые:

λ_j X^j =1 ; μ_j X^j =1 (6)

не инцидентные точке Р . Из условия rang f=2 и уравнения (2) вытекает, что прямые (6) не параллельны. Условия (*) показывают, что величины {λ^j ,μ^j } являются компонентами матрицы ,обратной к матрице, составленной из координат основных ковекторов. Таким образом , величины {λ^j ,μ^j } охватываются объектом Г₁ .

Из (*) получаем:

dλ^j =-λ^k W_k ^j -1\4(λ^j +μ^j )μ_t W^t -λ_kt λ^k λ^t W^t -μ_kt W^t ^λ^k μ^j

dμ^j =-μ^k W_k ^j -λ_kt μ^k λ^j W^t -μ_kt μ^k μ^j W^t +1\4λ_t (λ^j +μ^j )W^t

Таким образом , система величин и образуют геометрические объекты, охваченные объектом Г₁ . Будем называть их основными векторами 1-го порядка.

Предположение 1.Конец вектора v₁ =λ^j e_j (вектора v₂ =μ^j e_j ) лежит на прямой (6) . Доказательство вытекает из формул (*),(2) . Прямые, параллельные прямым (6) , инцидентные точке Р , определяются соответственно уравнениями:

λ_j X^j =0 , μ_j X^j = 0 (7).

Предположение 2. Основные векторы {λ^j } и {μ^j } параллельны прямым (6) соответственно. Доказательство вытекает из формул (*) и (7) . Взаимное расположение рассмотренных векторов и прямых представлено на рисунке:

λ_j X^j =1

V₂

V₁ μ_j X^j =1

Система величин ρ_j =λ_j -μ_j образует ковектор: dρ_j =ρ_k W_j ^k +(μ_jk -λ_jk )W^k .

Определяемая им прямая ρ_j X^j =0 (8) проходит через точку Р и точку пересечения прямых (6) .

Пусть W -однородное подмногообразие в R(p₁ ,p₂ ) содержащее элементы (р₁ ,р₂ ) определяемое условием: (р₁ ^* ,р₂ ^* ) ∈ W↔p₁ ^* p₂ ^* =p₁ p₂ .

Теорема 1.Прямая (8) является касательной в точке Р к прообразу f^-1 (W) многообразия W при отображении f .

Доказательство:

] (p₁ ^* ,p₂ ^* ) ∈ W и p₁ ^* =p₁ +dp₁ +1\2d² p₁ +... ,

p₂ ^* =p₂ +dp₂ +1\2d² p₂ +... .

Тогда в репере Г: p₁ ^* p₂ ^* =e p₁ p₂ , где e=1+2W+... является относительной длиной отрезка р₁ ^* р₂ ^* по отношению к р₁ р₂ . Таким образом, (р₁ ^* р₁ ^* ) ∈ W↔ W=0 .

Из (2) получим: W=ρ₁ W^j

Следовательно, (р₁ ^* р₂ ^* ) ∈ W равносильно ρ _j W^j =0 (9)

Из (8) и (9) вытекает доказательство утверждения.