Реферат: Формула Шлетца
§1. Пространство R(p1 ,p2 ).
А1 - аффинная прямая. Отнесем прямую А1 к подвижному реперу r ={a,`e}, где аи`eсоответственно точка и вектор.
Деривационные формулы репера r имеют вид:
d a= q`e , d`e= W`e (1),
причем формы Пфаффа q и Wподчиняются уравнениям структуры 1-мерного аффинного пространства :
D q = qÙW , DW=WÙW=0.
Пусть e* - относительная длина вектора e* =`e + d`e + 1/2d2 `e + 1/6d3 `e +... по отношению к вектору `е. Тогда `e*=e*`e. Из (1) получаем :e* =1+W+... Таким образом, форма Пфаффа W является дифференциалом относительной длины вектора `e*, близкого к `e , по отношению к `e.
Пусть R(p1 ,p2 ) – пространство всех пар (p1 ,p2 )точек p1 ,p2 прямой А1 . Поместим начало а репера rв середину Qотрезка р1 р2 , а конец вектора `е – в точку р1 ; при этом р2 совместится с концом вектора -`е.
Условия стационарности точек р1 и р2 в таком репере имеют соответственно вид: W+q=0, -W+q=0.
Таким образом , в репере r структурными формами пространства R(р1 ,р2 ) являются формы Пфаффа : W+q , -W+q.
Очевидно, что dim R(p1 ,p2 ) =2. Заметим ,что в репере rформа 2W является дифференциалом относительной длины отрезка р1 *р2 * , близкого к р1 р2 ,по отношению к р1 р2 .
§ 2. Отображение f.
А2 – аффинная плоскость , отнесенная к подвижному реперу R ={p, ` ej }. Деривационные формулы репера R и уравнения структуры плоскости А2 имеют соответственно вид :dp =Wj ej ; d ` ej =Wj k ;
DWj =Wk ^Wk j ; DWj =Wj y ^Wy k .
Рассмотрим локальное дифференцируемое отображение fплоскости А2 в пространстве R(p1 ,p2 ):f:A2 ® R(p1 ,p2 ).
Будем считать , что в каждой точке области определения отображения f выполняется : rang f =2 (1)
Поместим начало Р репера R в точку f-1 (p1 ,p2 ) . Тогда дифференциальные уравнения отображения f запишутся в виде :
Q +W= l j Wj ; Q-W= m j Wj (2)
Из (1) вытекает , что существует локальное дифференцируемое отображение f-1 : R(p1 ,p2 ) ® A2 обратное к f .В указанных реперах дифференциальные уравнения отображения f-1 имеют вид :
Wj = l j (Q+W)+ m j (Q-W) (3)
Из (2) и (3) получаем :
l k l j + m k m j = d j k
l j l j =1
m j m j =1 (*)
l j m j =0
m j l j =0
Указанную пару {r;R } реперов пространств А1 и А2 будем называть репером нулевого порядка отображения f .
§3.Фундаментальные геометрические объекты отображения f .
Осуществим продолжение системы (2) дифференциального уравнений отображения f.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--