Реферат: Формула Шлетца

Подставляя их в формулу (4.2) на стр. 344 (§7), получаем

dS² =θ² -W²

Следствие : Метрика G сохраняется при расширении фундаментальной группы ее проективных преобразований.

В работе <3> был построен охват объекта

Г^l _jk =1/2G^tl (G_tkj +G_jtk -G_jkt )

псевдоримановой связности G фундаментальным объектом Г₂ = {λ_j ,μ_j ,λ_jk ,μ_jk }.

Онопределяется формулой: Г ^l _jk =λ^j Λ_jk +μ^l Μ_jk -λ^l λ_t λ_k +μ^l μ_t μ_k .

§7. Инвариантная риманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

g_jk =λ_j λ_k +μ_j μ_k (7.1)

Из (3.1) получаем:

dg_jk =dλ_j λ_k +dλ_k λ_j +dμ_j μ_k +dμ_k μ_j =λ_k λ_t W_j ^t +1/4λ_k λ_j μ_t W^t -1/4λ_j λ_t μ_j W^t +λ_k λ_jt W^t +λ_j λ_t W_k ^t +

+1/4λ_j λ_k μ_t W^t -1/4λ_j λ_t μ_k W^t +λ_j λ_kt W^t +μ_k μ_t W_j ^t +1/4μ_k λ_j μ_t W^t -1/4μ_k λ_t μ_j W^t +μ_k μ_jt W^t +

+μ_j μ_t W_k ^t +1/4μ_j λ_k μ_t W^t -1/4μ_j λ_t μ_k W^t +μ_j μ_kt W^t .

dg_jk =(λ_k λ_t +μ_k μ_t )W_j ^t +(λ_j λ_t +μ_j μ_t )W_k ^t +g_jkt W^t , (7.2)

где g_jkt =1/2λ_j λ_k μ_t -1/2μ_j μ_k λ_t -1/4λ_k λ_t μ_j -1/4λ_j λ_t μ_k +1/4λ_j μ_k μ_t +1/4μ_j λ_k μ_t +λ_k λ_jt +λ_j λ_kt +

+μ_k μ_jt +μ_j μ_kt (7.3)

Таким образом, система величин {g_jk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А₂ инвариантную метрику g :

dS² =g_jk W^j W^k (6^’ .4)

Из (7.1) и (2.5) вытекает, что метрика ( 6^’ .4) соответствует при отображении f метрике:

dS² =2(θ² +W² ) (6^’ .5)

в R(p₁ ,p₂ )

Из (6^’ .5) вытекает, что метрика g является римановой метрикой.

Единичная окружность, построенная для точки Р определяется уравнением:

GjkXjXk=1 (6^’ .6)

или (λ_j X^j )² +(μ_j X^j )² =1 (6^’ .7)

Из (6^’ .7) вытекает:

Предложение 7.1: Единичная окружность метрики g с центром в точке Р является эллипсом, касающимся в концах основных векторов прямых, параллельных этим векторам.

Заметим, что сформулированное здесь свойство единичной окружности полностью определяет эту окружность, а следовательно и метрику g .