Реферат: Формула Шлетца

В дальнейшем эту функцию будем называть относительной длиной. Т.о., линия f^-1 (W) является линией уровня функцииh . Заметим, что (9) является дифференциальным уравнением линииf^-1 (W) .

]W₁ ,W₂ - одномерные многообразия вR(p₁ p₂ ) , содержащие элемент (р₁ р₂ ) и определяемые соответственно уравнениями:

(p₁ ^* ,p₂ ^* ) є W₁ ↔p₂ ^* =p₂ .

(p₁ ^* ,p₂ ^* ) є W₂ ↔p₁ ^* =p₁ .

Следующая теорема доказывается аналогично теореме 1.

Теорема 2. Прямая (7) является касательной в точке P к прообразу многообразияW₂ (многообразияW₁ ) при отображенииf .

Дифференциальные уравнения линииf^-1 (W₁ ) и f^-1 (W₂ ) имеют соответственно вид:

λ_j W^j =0

μ_j W^j =0 .

Пусть W₀ - одномерное подмногообразиев R(p₁ p₂ ) , содержащее (р₁ р₂ ) и определяемое условием: (p₁ ^* p₂ ^* ) є W₀ ↔Q*=Q ,где Q* – середина отрезка р₁ ^* р₂ ^* . Следующее утверждение доказывается аналогично теореме 1.

Предложение 3. Прямая(λ_j +μ_j )X^-j =0 (10) является касательной в точке Р к прообразу f^-1 (W₀ ) многообразияW₀ при отображенииf . Дифференциальное уравнение линииf^-1 (W₀ ) имеет вид:(λ_j +μ_j )W^j =0 .

Теорема 3.Прямые, касательные в точке Р к многообразиямf^-1 (W₁ ), f^-1 (W₂ ) , f^-1 (W), f^-1 (W₀ ) составляют гармоническую четверку.

Доказательство вытекает из (7),(8),(10).

§5. Точечные отображения, индуцируемые отображением f .

Рассмотрим отображения:

П₁ : (р₁ ,р₂ ) ∊ R(p₁ ,p₂ )→p₁ ∊ A₁ (5.1)

П₂ : (р₁ ,р₂ ) ∊ R(p₁ ,p₂ )→p₂ ∊ A₁ (5.2)

Отображение f: A₂ →R(p₁ ,p₂ ) порождает точечные отображения:

φ₁ = П₁ ∘ f: A₂ →A₁ (5.3)

φ₂ = П₂ ∘ f: A₂ →A₁ (5.4)

В репере нулевого порядка дифференциальные уравнения отображений φ₁ и φ₂ меют соответственно вид (2.5 а) и (2.5 б) . Подобъекты Г_1,2 = { λ _j ,λ_jk } и Г_2,2 = {μ_j ,μ_jk } объекта Г₂ являются фундаментальными объектами второго порядка отображений φ₁ и φ₂ .

В работе <4> доказано, что разложение в ряд Тейлора отображений имеет соответственно вид:

x=1+λ_j X^j +1/2λ_jk X^j X^k +1/4λ_y ρ_k X^j X^k +<3>, (5.5)

y=-1+μ_j X^j +1/2μ_jk X^j X^k +1/4μ_y ρ_k X^j X^k +<3>, (5.6)

Введем системы величин:

Λ_jk =λ_jk +1/4(λ_j ρ_k +λ_k ρ_j ),

Μ_jk =μ_jk +1/4(μ_j ρ_k +μ_k ρ_j )

Тогда формулы (5.5) и (5.6) примут соответственно вид:

x=1+λ_j X^j +1/2Λ_jk X^j X^k +<3> (5.7)