Реферат: Формула Шлетца

В <4> доказано, что существует репер плоскости А₂ , в котором выполняется:

λ₁ λ₂ 1 0

=

μ₁ μ₂ 0 1

Этот репер является каноническим.

Таким образом, в каноническом репере Якобиева матрица отображения f является единичной матрицей.

Формулы (5.7) и (5.8) в каноническом репере примут вид:

x=1+X¹ +1/2Λ_jk X^j X^k +<3> (5.9),

y=-1+X² +1/2Μ_jk X^j X^k +<3> (5.10).

§6. Инвариантная псевдориманова метрика.

Рассмотрим систему величин:

G_jk =1/2(λ_j μ_k +λ_k μ_j )

Из (3.1) получим:

dG_jk =1/2(dλ_j μ_k +λ_j μ_k +dλ_k μ_j +λ_k dμ_j )=1/2(μ_k λ_t W_j ^t +1/4λ_j μ_k μ_t W^t -1\4μ_k μ_t λ_t W^t +μ_k λ_jt W^t +λ_j μ_t W_k ^t +

+1/4λ_j λ_k μ_t W^t -1/4μ_j λ_k μ_t W^t -1/4μ_j λ_t μ_k W^t +μ_j λ_kt W^t +λ_k μ_t W_j ^t +1/4λ_k λ_j μ_t W^t -1/4λ_k λ_t μ_j W^t +

+λ_k μ_jt W^t ),

dG_jk =1/2(μ_k λ_t +λ_k μ_t )W_j ^t +1/2(λ_j μ_t +λ_t μ_j )W_k ^t +G_jkt W^t ,

где G_jkt =1/2(μ_k λ_jt +λ_y μ_kt +μ_j λ_kt +λ_k μ_jt -1/2μ_j μ_k λ^t +1/2λ_j λ_k μ_t -1/4λ_j μ_k λ_t +1/4λ_j μ_k μ_t +1/4μ_j λ_k μ_t -

-1/4μ_j λ_k λ_t ) (6.3).

Таким образом, система величин {G_jk } образует двухвалентный тензор. Он задает в А₂ инвариантную метрику G :

dS² =G_jk W^j W^k (6.4)

Из (6.1) и (2.5) вытекает, что метрика (6.4) соответствует при отображении f метрике dS² =θ² -W² (6.5) в R(p₁ ,p₂ ).

Из (6.5) вытекает, что метрика G является псевдоримановой метрикой.

Асимптотические направления определяются уравнением G_jk W^j W^k =0 или

λ_j W^j μ_k W^k =0 (6.6)

Предложение : Основные векторы V₁ и V₂ определяют асимптотические направления метрики G.

Б. А. Розенфельдом изучалась инвариантная метрика в пространстве нуль-пар. На проективной прямой нуль-парой является пара точек. Для двух пар точек ( x,U ) и ( y,U^’ ) расстояние между ними определяется как двойное отношение W=(xy,UU^’ )

Теорема : Метрика dS² =θ² -W² совпадает с метрикой Розенфельда .

Доказательство: В репере r имеем для координат точек p₁ ,p₂ ,p₁ +dp₁ ,p₂ +dp₂