Реферат: Графики и их функции

Эллипсом называют множество всех точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек той же плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Составим уравнение эллипса с фокусами в данных точках F1 и F2. Для этого выберем прямоугольную систему координат так, чтобы ось Ох проходила через фокусы, а начало координат делило отрезок F1F2 пополам (см. приложение 14). Обозначив F1F2 = 2с, получим F1(с; 0) и F2(-с; 0). Пусть М(х; у) - произвольная точка эллипса.

Расстояние r1 = F1M и r2 = F2M называются фокальными радиусами точки М.

Положим r1 + r2 = 2а; (1)

Тогда согласно определению эллипса 2а - величина постоянная, причем 2а>2с, т.е. а>c.

По формуле расстояния между двумя точками находим

r1 = и r2 =

Подставим найденные значения r1 и r2 в равенство (1) получим уравнение эллипса

После несложных преобразований уравнение примет вид

(2)

Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса.

Исследование:

Координаты точки О(0; 0) не удовлетворяют уравнению (2), поэтому эллипс, определяемый этим уравнением, не проходит через начало координат.

Найдем точки пересечения эллипса с осями координат. Положив в уравнении (2) у = 0, найдем х = ± а. Следовательно, эллипс пересекает ось Ох в точках А1(а; 0) и А2(-а; 0). Аналогично получаем точки пересечения эллипса с осью Оу: В1(0; b) и B2(0; - b)

D(y) Î [-a; a]

E(y) Î [-b; b]

При возрастании ½х½ от 0 до а величина ½у½ убывает от b до 0, а при возрастании ½у½от 0 до b величина ½х½ убывает от а до 0.

Частным случаем эллипса является окружность, где а = b.

Окружность

Как известно, окружностью называют множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки, называемой центром.

Пусть дана окружность радиусом r с центром в точке О1(a; b) (см. приложение 15); требуется составить ее уравнение.

Возьмем на данной окружности произвольную точку М (х; у)

Имеем: О1М = r, т.е. = r

Откуда (х-а) ² + (у - b) ² = r² (1)

Итак, уравнению (1) удовлетворяют координаты произвольной точки окружности. Более того, этому уравнению не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности, так как если

О1М< r, то (х-а) ² + (у - b) ² < r²,

и если

О1М> r, то (х-а) ² + (у - b) ² > r².