Реферат: Інтегральні перетворення Лапласа

Зокрема

7.

Як і у прикладі 6, знаходимо для функції

Застосуємо далі для лівої і правої частини отриманої рівності операції дійсної уявної частини, вважаючи р дійсним і додатнім.

(3.1)

(3.2)

4. Обернене перетворення Лапласа

Теорема 4.1 (основна) Нехай функція f(t) задовольняє умові (1.1) і F(p) її зображення. Тоді в довільній точці t>0 в якої функція f(t) диференційована, справджується формула подання:

(4.1)

Доведення

Розглянемо функцію . Очевидно, що функція g[t] інтегрована на (0,∞) і диференційована в т. t>0. РозглядаючиF[p] перетворення Фур’є функції g[t] обернення перетворення Фур’є.

Після множення останньої рівності на отримаємо 4.1. 4.1 називається формулою оберненого перетворення Лапласа або формулою Мелліна. Теорему доведено. ■

Теорема має недолік, для її застосування необхідно попередньо володіти інформацією про властивості вихідного оригінала f[t]. В наступній теоремі встановлюється формула звертання при достатніх умовах тільки на зображення F[p].

Теорема 4.2 Нехай F[p] аналітична на півплощині Rep >a що задовольняє умовам:

1) При будь-якому існує інтеграл:

2) Для

- дуги кола радіуса R з центром в точці (,0)

, при

Тоді, - це зображення функції f[t], представленої формулою 4.1 ()

Доведення

Розглянемо прямокутний контур (мал..4.1)

За теоремою Коши інтеграл Г [ σ1, σ2, р ] по контуру J 1[ σ1, σ2, р ] дорівнює нулю. Перейдемо до границі в J 1[ σ1, σ2, р ] при р →∞. Легко переконатися, що інтеграли за верхній і нижній сторонам прямокутника прямують до 0 при р →∞, а інтеграли по бічним сторонам в границі виявляються рівними за величиною. Таким чином, інтеграл (4.1) не залежить від вибору .

Доведемо, що побудована за формулою (4.1) функція f[t] дійсно є оригіналом заданої функції F[p]. Перш за все зауважимо, що для інтеграла (4.1) справедлива оцінка