Реферат: Исследование функций
при х < х0 :
Следовательно, эти неравенства в силу дифференцируемости имеют место одновременно лишь когда
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ферма: если х0 Î (а, b) является точкой минимума или максимума функции f(х)и в этой точке существует производная функции, то касательная, проведенная к графику функции в точке (х0 , f(х0 )), параллельна оси Ох:
Заметим, что оба условия теоремы Ферма – интервал (а, b) и дифференцируемость функции в точке локального экстремума – обязательны.
Пример 1. у = çх÷, х Î (–1; 1).
В точке х0 = 0 функция имеет минимум, но в этой точке производная не существует. Следовательно, теорема Ферма для данной функции неверна (не выполняется условие дифференцируемости функции в точке х0 ).
Пример 2. у = х3 , х Î [–1; 1].
В точке х0 = 1 функция имеет краевой максимум. Теорема Ферма не выполняется, так как точка х0 = 1 Ï (–1; 1).
Мишель Ролль (1652–1719) – французский математик, член Парижской академии наук. Разработал метод отделения действительных корней алгебраических уравнений.
Теорема Ролля. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b], дифференцируема на (а, b), f(а) = f(b). Тогда существует хотя бы одна точка x, а < x < b, такая, что f'(x) = 0.
Доказательство:
1) если f(x) = const на [a, b], то f'(х) = 0, х Î (a, b);
2) если f(x) ¹const на [a, b], то непрерывная на [a, b] функция достигает наибольшего и наименьшего значений в некоторых точках отрезка
[a, b]. Следовательно, maxf(x)или minf(x) обязательно достигается во внутренней точке x отрезка [a, b], а по теореме Ферма имеем, что f'(x) = 0.
Теорема доказана.
Геометрический смысл теоремы Ролля: при выполнении условий теоремы внутри отрезка [a, b] обязательно найдется хотя бы одна точка x, такая, что касательная к графику f(x) в точке (x, f(x)) ïïOx (см. рисунок).
Заметим, что все условия теоремы существенны.
Пример 3. f(x) = çх÷, х Î [-1; 1]. f(-1) = f(1) = 1.
В точке х = 0 нарушено условие дифференцируемости. Следовательно, теорема Ролля не применяется – ни в одной точке отрезка [–1; 1] производная в нуль не обращается.
Пример 4.
Для данной функции f(0) = f(1) = 0, но ни в одной точке интервала
(0; 1) производная не равна 0, так как теорема Ролля не выполняется – функция не является непрерывной на [0; 1].