Реферат: Исследование функций

СОДЕРЖАНИЕ

1. Основные теоремы дифференциального исчисления

1.1 Локальные экстремумы функции

1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

2. Исследование функций

2.1 Достаточные условия экстремума функции

2.2 Исследование функций на выпуклость и вогнутость. Точка перегиба

2.3 Асимптоты графика функции

2.4 Общая схема построения графика функции

Литература

1 . ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

1.1 Локальные экстремумы функции

Пусть задана функция у = f (х) на множестве Х и х₀ – внутренняя точка множества Х.

Обозначим через U(х₀ ) окрестность точки х₀ . В точке х₀ функция f(х) имеет локальный максимум , если существует такая окрестность U(х₀ ) точки х₀ , что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(х) £f(х₀ ).

Аналогично: функция f(х) имеет в точке х₀ локальный минимум , если существует такая окрестность U(х₀ ) точки х₀ , что для всех х из этой окрестности выполнено условие f(х) ³f(х₀ ).

Точки локальных максимума и минимума называются точками локальных экстремумов, а значения функции в них – локальными экстремумами функции.

Пусть функция f(х) определена на отрезке [а, b] и имеет локальный экстремум на каком-то из концов этого отрезка. Тогда такой экстремум называется локальным односторонним или краевым экстремумом. В этом случае соответствующая окрестность является правой для «а» и левой для «b» полуокрестностью.

Проиллюстрируем данные выше определения:

На рисунке точки х₁ , х₃ – точки локального минимума, точки х₂ , х₄ – точки локального максимума, х = а – краевого максимума, х = b – краевого минимума.

Заметим, что наряду с локальными минимумом и максимумом определяют так называемые глобальные минимумы и максимумы функции f(х) на отрезке [a, b]. На рисунке точка х = а – точка глобального максимума (в этой точке функция f(х) принимает наибольшее значение на отрезке [a, b]), точка х = х₃ – точка соответственно глобального минимума.

1.2 Основные теоремы дифференциального исчисления: Ферма, Ролля, Коши, Лагранжа

Рассмотрим некоторые теоремы, которые позволят в дальнейшем проводить исследование поведения функций. Они носят названия основных теорем математического анализа или основных теорем дифференциального исчисления, поскольку указывают на взаимосвязь производной функции в точке и ее поведения в этой точке. Рассмотрим теорему Ферма.

Пьер Ферма (1601–1665) – французский математик. По профессии – юрист. Математикой занимался в свободное время. Ферма – один из создателей теории чисел. С его именем связаны две теоремы: великая теорема Ферма (для любого натурального числа n > 2 уравнение хⁿ + yⁿ = zⁿ не имеет решений в целых положительных числах х, у, z) и малая теорема Ферма (если р – простое число и а – целое число, не делящееся на р, то а ^р-1 – 1 делится на р).

Теорема Ферма. Пусть функция f(х) определена на интервале (а, b) и в некоторой точке х₀ Î (а, b) имеет локальный экстремум. Тогда, если в точке х₀ существует конечная производная f'(x₀ ), то f'(x₀ ) = 0.

Доказательство.

Пусть, для определенности, в точке х₀ функция имеет локальный минимум, то есть f(х) ³f(х₀ ), œх ÎU(х₀ ). Тогда в силу дифференцируемости

f(х) в точке х₀ получим:

при х > х₀ :

--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--