Реферат: Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике
Определение : множество перестановок n-й степени образует по умножению группу, притом конечную порядка n!. Эта группа называется симметрической группой n-й степени и обозначается Sn .
Определение : подмножество Н множества Sn называется подгруппой группы Sn , если оно является группой относительно действия умножения перестановок.
Такие подмножества играют важную роль для изучения строения группы Sn .
Симметрическая группа Sn имеет много разных подгрупп, причем их число очень быстро возрастает с увеличением числа n. Полностью описать все подгруппы группы Sn удается лишь для небольших n, а для n больших изучаются лишь общие свойства таких подгрупп.
Часто подгруппы симметрической группы Sn называют просто группами перестановок. В частности, само множество Sn также является своей подгруппой, то есть группа Sn будет подгруппой самой себя. Кроме того, множество состоящее лишь из одного единичного элемента, также является подгруппой, это вытекает из следующих равенств: E*E=E, E-1 =E. Такая подгруппа называется единичной. Для каждой другой подгруппы Н группы Sn выполняется неравенство: 1<|H|<n!.
Единичная подгруппа и вся группа называются несобственными подгруппами, а все остальные подгруппы называются собственными.
В основном нас будут интересовать собственные подгруппы групп.
1.2. ТЕОРЕМЫ О ПОДГРУППАХ
Для каждого подмножества множества Sn , которое является подгруппой, должны выполняться все требования определения группы. Но проверять все эти требования не нужно, так как справедлива следующая теорема о подгруппах.
Теорема : подмножество Н группы Sn , которое содержит по меньшей мере одну перестановку, является подгруппой группы Sn тогда и только тогда, когда:
1)вместе с каждыми двумя элементами 
в него входит их произведение 
;
2)если 
, то 
.
Доказательство.
Необходимость.
Действительно, если Н – подгруппа группы Sn , то она замкнута относительно действия упражнения перестановок, которые принадлежат Н, то есть выполняется условие 1). Каждый элемент из Н имеет обратный, следовательно, выполняется условие 2).
Достаточность.
Пусть для множества Н перестановок выполняются условия 1) и 2). Проверим, имеет ли множество Н все свойства группы. Условие 1) означает, что множество Н замкнуто относительно действия умножения своих элементов следовательно, выполняются первое требование определения группы. Ассоциативность действия умножения перестановок Н имеет место, так как умножение произвольных перестановок (в частности, и тех, которые принадлежат Н) имеет такое свойство. Тождественная перестановка также должна принадлежать множеству Н. Действительно, Н содержит хоть одну перестановку, например 
, а тогда Н принадлежит по условию 2) и перестановка 
. Поэтому по условию 1) Н принадлежит перестановка 
. Наконец, условие 2) показывает, что каждый элемент из Н имеет обратный, который также принадлежит Н. Следовательно, Н является подгруппой группы Sn .
Теорема доказана.
Пример 1.
Пусть Н – множество перестановок 
, 
, 
, 
.
Проверим, является ли Н подгруппой группы S4 .
Имеем: 
, следовательно, для множества Н выполняется условие 2) только что доказанной теоремы. Проверим выполнение условия 1) теоремы.
