Реферат: Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике
Как видим, произведение каждых двух элементов множества G является элементом из G, следовательно, выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп. Значит, подмножество G множества S3 является подгруппой группы S3 .
Таким образом, группа S3 имеет шесть разных подгрупп:
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
Результат только что рассмотренной задачи наталкивает нас на предположение о том, что если группа имеет порядок n, то она имеет и n различных подгрупп. Чтобы подтвердить или опровергнуть это предположение рассмотрим следующую задачу.
2. Опишите все подгруппы симметрической группы S4 .
Решение: порядок группы S4 равен 4!=12. По теореме Лагранжа, собственные подгруппы из S4 могут состоять из 2, 3, 4, 6, 8, 12 перестановок. По теореме Силова можно лишь утверждать, что группа S4 содержит подгруппы порядка 2, 3, 4=22 , 8=23 , но ничего не можем сказать о подгруппах порядка 6 и 12. надо будет доказать существование или отсутствие подгрупп порядка 6 и 12.
1) Опишем подгруппы, состоящие из двух перестановок.
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
2) Опишем подгруппы, состоящие из трех перестановок.
10. 
11. 
12. 
13. 
3) Опи?