Реферат: Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

Следовательно, произведение каждых двух элементов множества Н является элементов того же множества, то есть для Н выполняется и условие 1) упомянутой выше теоремы.

Таким образом, подмножество Н является подгруппой группы S₄ .

Пример 2.

Пусть Т – множество перестановок , , , .

Проверим, является ли Т подгруппой группы S₄ .

Оказывается, что множество Т не является подгруппой группы S₄ , так как для него не выполняется ни одно из условий 1), 2) теоремы о подгруппах. Действительно, , так как , .

Следует отметить, что сформулированная выше теорема справедлива для бесконечных групп. В случае конечных групп проверка условия 2) является излишней, то есть для конечных групп справедлива следующая теорема о подгруппах.

Теорема : пусть - группа, Н - ее конечное подмножество и оно замкнуто относительно умножения. Тогда Н – подгруппа группы G.

Доказательство.

Докажем замкнутость Н относительно существования обратного элемента.

Возьмем произвольный элемент . Если , то и .

Пусть . Рассмотрим степени элемента : - все эти числа принадлежат Н (так как Н замкнуто относительно умножения по условию). Так как множество Н конечно, то все эти числа различны быть не могут.

Значит, существуют . Пусть (в случае доказательство проводится аналогично). Тогда и , , , .

Следовательно, - обратный для , то есть . Но . Следовательно, , то есть . Таким образом, для произвольного элемента получили, что . Значит, Н – подгруппа группы G.

Теорема доказана.

Нам известно, что симметрическая группа S_n является конечной. Поэтому для того чтобы подмножество Н группы S_n являлось подгруппой группы S_n , достаточно чтобы произведение произвольных двух элементов из Н также принадлежало Н.

1.3. ЗНАКОПЕРЕМЕННАЯ ГРУППА

Особенный интерес представляет множество A_n всех четный перестановок на множестве из n символов. Ясно, что это подмножество симметрической группы S_n . Утверждается, что A_n является подгруппой группы S_n . Чтобы доказать это, проверим, что A_n удовлетворяет двум условиям, характеризующим подгруппу:

1) замкнутость.

Если р₁ и р₂ – перестановки из A_n , представимые в виде произведений n₁ и n₂ транспозиций соответственно, то их произведение можно записать с помощью транспозиций. Если n₁ и n₂ – четные числа, то и n₁ +n₂ четно, откуда можно заключить, что перестановка четная и, следовательно, эта перестановка принадлежит A_n .

2) обратимость.

Перестановка р имеет обратную р^-1 (в группе S_n ); р*р^-1 =Е можно представить только с помощью четного числа транспозиций, поскольку Е – четная перестановка. Значит, если р – четная перестановка, то р^-1 также должна быть четной, то есть у каждого элемента из группы A_n есть обратный в A_n .

Следовательно, для подмножества A_n выполняются два условия теоремы о подгруппах (причем, второе условие можно было бы и не проверять, так как S_n – конечная группа). Поэтому A_n является подгруппой симметрической группы S_n . Подгруппа A_n группы S_n называется знакопеременной группой.

Теорема : порядок группы A_n равен .

Доказательство.

Пусть а – транспозиция из симметрической группы , пусть а=(12)=(12)(3)(4)…(n). Умножим каждый элемент группы S_n слева на а=(12). В результате снова получим множество всех элементов из S_n и ни один из них не повторяется дважды. Но произведение любой четной перестановки из S_n и элемента (12) является нечетной перестановкой, а произведение нечетной перестановки и элемента (12) является четной перестановкой. Множество нечетных перестановок и множество четных при этом умножении взаимно однозначно отображаются одно на другое. Это возможно лишь при том условии, что количество четных и нечетных перестановок одинаково. Следовательно, порядок группы A_n равен .

Теорема доказана.