Реферат: Изучение элементов современной алгебры, на примере подгрупп симметрических групп, на факультативных занятиях по математике

Теорема Силова : пусть G – группа порядка g и h – делитель числа g; если h=pⁿ , где р – простое число, а n – положительное целое число, то G содержит подгруппу порядка h.

Теорема Силова существенно облегчает процесс нахождения подгрупп некоторой группы. Так, например, порядок группы А₄ равен 12; простыми делителями числа 12 являются 2 и 3. По теореме Силова мы можем утверждать, что знакопеременная группа А₄ содержит подгруппы порядка 2, 3 и 4=2² , но мы все равно ничего не можем сказать о подгруппе порядка 6.

Исходя из всего выше описанного, можно сделать вывод о том, что теорема Лагранжа и непосредственные следствия из этой теоремы играют важную роль в теории групп. Они очень часто применяются как в самой теории групп, так и во всех ее приложениях.

1.6. ЗАДАЧИ

1. Описать все подгруппы симметрической группы S₃ .

Решение.

Порядок группы S₃ равен 3!=6. из теоремы Лагранжа следует, что собственные подгруппы из S₃ могут состоять из двух или трех перестановок. Следовательно, подмножества S₃ , состоящие из четырех или пяти перестановок, подгрупп не образуют.

1) Опишем сначала подгруппы, которые состоят из двух перестановок. Если Н – такая подгруппа, то в нее входит элемент Е и еще какой-то другой элемент , то есть .

Элемент обратный к не может совпадать с Е, поэтому . Последнее равенство можно записать так: , то есть Е=. Следовательно, а – перестановка второго порядка, то есть цикл длины 2.

Таким образом, существует не больше трех подгрупп второго порядка группы S₃ . эти подгруппы легко находятся с помощью таблицы Кэли. Это будут такие подмножества: , , . Легко убедиться, что подмножества А, В и С действительно являются подгруппами группы S₃ , так как для каждого из них выполняется условие теоремы о подгруппах для конечных групп.

Для подмножества А:

Для подмножества В:

Для подмножества С:

2) Теперь опишем подгруппы, которые состоят из трех перестановок. Если - такая подгруппа, то перестановки и должны иметь порядок 3. действительно, если одна из них, например , имеет порядок 2, то =^-1 . Пусть , тогда и . Тогда Следовательно, получили противоречие, так как у нас и различны. Значит, , то есть перестановка тоже будет иметь порядок 2. но легко проверить непосредственно, что произведение любых двух перестановок второго порядка является перестановка третьего порядка. Например, .

Следовательно, произведение * не принадлежит G и G тогда не является подгруппой.

Таким образом, перестановки и должны иметь порядок 3, то есть , где ,