Реферат: Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики
В курсе "Алгебра 9" обобщается определение cos, tg и sin α на случай произвольного угла α и вводится понятие ctg α. Возможность такого обобщения – во введении понятия угла поворота, положительного и отрицательного угла, понятия полного оборота. Доказывается, что тригонометрические функции, их значение, не зависит от длины радиуса.
Здесь же приведены с доказательствами основные тригонометрические формулы, формулы сложения и их следствия.
3. Методика изучения тригонометрических функций в курсе алгебры
Традиционная методическая схема изучения тригонометрических функций:
· в начале определяются тригонометрические функции для острого угла прямоугольного треугольника;
· затем введенные понятия обобщаются для углов от до
;
· тригонометрические функции определяются для произвольных угловых величин и действительных чисел.
В курсе алгебры и начала анализа осуществляется заключительный этап изучения, который включает:
a) Закрепление представлений учащихся о радианной мере угла; отработка навыков перехода от градусной меры к радианной и наоборот;
b) Формирование представлений об углах с градусной мерой, большей ; формирование представлений об углах с положительной и отрицательной градусными мерами; перевод этих градусных мер в радианы (положительные и отрицательные действительные числа);
c) Описание тригонометрических функций на языке радианной меры угла;
d) Утверждение функциональной точки зрения на ,
, и
(трактовка
,
, и
как функций действительного аргумента, установление области определения, области значений, построение графика функции, установление промежутков монотонности, знакопостоянства и т.д.);
e) Повторение известных и ознакомление с новыми тригонометрическими тождествами, ключом которых является тождество ;
f) Применение тригонометрических тождеств в тождественных преобразованиях и при решении задач по стереометрии.
В курсе "Алгебра 9" учащиеся знакомятся с функциональной точкой зрения. Выражения и
определимы при
, т.к
угла поворота можно найти соответствующее значение дробей
и
. Выражение
имеет смысл при
, кроме углов поворота
,
, …, т.к. имеет смысл дробь
.
Каждому допустимому значению соответствует единственное значение
,
,
и
. Поэтому
,
,
и
являются функциями угла
. Их называют тригонометрическими функциями.
Учащиеся знакомятся со следующими общефункциональными свойствами этих функций:
1. область значения и
-
, для
и
- множество всех действительных чисел
2. промежутки знакопостоянства: , то значит
зависит от знака
и т.д.
3. ,
и
являются нечетными функциями, а
является четной функцией
4. при изменении угла на целое число оборотов значение ,
,
,
не изменится (под обратным понимаем поворот на
).
Введение радианной меры угла основывается на том факте, что отношения длины окружности к её радиусу постоянно для данного центрального угла и не зависит от выбора концентрических окружностей. По этой причине меру центрального угла можно охарактеризовать действительным числом . Если
положить равным 1, то радианная мера центрального угла равна 1, т.е.
.
Тогда для каждого угла, заданного в градусах, достаточно вычислить соответствующую дугу единичной окружности. Длина такой дуги будет выражать меру данного угла в радианах.
Радианная мера угла позволяет любому действительному числу поставить в соответствие определенную градусную меру угла по формуле: , где
.
Переход от радианной меры угла к действительному числу осуществляется на основании того, что . Учащимся следует показать изменение величин углов по координатным углам:
1 четверть: ,
;
2 четверть: ,
;
и т.д.
Определение тригонометрической функции выглядит так:
Опр. Окружность радиуса 1 с центром в начале координат называют единичной
окружностью. Пусть точка единичной окружности получена при повороте точки
на угол в
радиан. Ордината точки
- это синус угла
. Числовая
функция, заданная формулой
, называется синусом числа, каждому числу
ставится в соответствие число
.