Реферат: Изучение тригонометрического материала в школьном курсе математики
;
.
Построим график функции
на
.
Делим единичную окружность и отрезок
на 16 равных частей.
Через точку проводим прямую, параллельную
. Проводим прямую
до пересечения с построенной прямой. Получим одну из точек графика функции
, называемого синусоидой.
Отрезок оси
, с помощью которого находятся значения синуса, называется линией синусов.
Для построения графика синуса вне этого отрезка заметим, что . Поэтому во всех точках вида
, где
, значения синуса совпадают, и, следовательно, график синуса на всей прямой получается из построенного графика с помощью параллельных переносов его вдоль оси
.
Для построения графика косинуса следует вспомнить, что . Следовательно, значение косинуса в произвольной точке
равно значению синуса в точке
. Это значит, что график косинуса получается из графика синуса с помощью параллельного переноса на расстояние
в отрицательном направлении оси
. Поэтому график функции
также является синусоидой.
Для функций
и
определяется аналогично. Область определения
- множество всех чисел, где
.
Построение графика: проведем касательную к единичной окружности в точке
.
Пусть произвольное число, для которого
. Тогда точка
не лежит на оси ординат, и, следовательно, прямая
пересекает
в некоторой точке
с абсциссой 1. Найдем ординату этой точки. Для этого заметим, что прямая
проходит через точки
и
. Поэтому она имеет уравнение
.
Абсцисса точки , лежащей на этой прямой, равна 1. Из уравнения прямой
находим, что ордината точки
равна
. Итак, ордината точки пересечения прямых
и
равна
. Поэтому прямую
называют линией тангенсов.
Нетрудно доказать, что абсцисса точки
пересечения прямой
с касательной m к единичной окружности, проведённой через точку
, равна
при
.
Поэтому прямую m называют линией котангенсов.
Область значений
- вся числовая прямая. Докажем это для функции
. Пусть
- произвольное действительное число. Рассмотрим точку
. Как только что было показано,
равен
. Следовательно, функция
принимает любое действительное значение
, ч.т.д.
Построение графика аналогично построению
.
Можно построить схему, позволяющую изобразить график тригонометрических функций:
1) Начертить единичную окружность, горизонтальный диаметр которой служит продолжением оси . Разделить её на равные части (например,16).
2) Для функции выбираем отрезок
, для функции
-
и делим их на то же равное число частей.
3) По окружности находим соответствующее число значений этих функций.
4) Точки пересечения горизонтальных линий, отвечающих значениям функций и вертикальных линий, отвечающих значениям аргумента, представляют собой точки графика.
4. Тождественные преобразования тригонометрических выражений. Тригонометрические уравнения и неравенства и методика обучения решению
Тригонометрический материал изучается в школьном курсе в несколько этапов.
1) Функции тригонометрических функций для углов от до
(прямоугольный треугольник, планиметрия);
2) Тригонометрические функции для углов от до
(тема: "Декартовы координаты на плоскости; геометрия");
3) Тригонометрические функции для любого действительного числа.
Параллельно изучению теоретического материала учащиеся знакомятся с тригонометрическими формулами, объём которых будет постепенно рассширяться. Умение "выделить" эти формулы в дальнейшем поможет в преобразовании тригонометрических выражений.
К обязательным результатам обучения за курс геометрии в 7-9 классах относиться умение решать типичные задачи на вычисление значений геометрических величин (длин, углов, площадей) с привлечением свойств фигур, аппарата алгебры и тригонометрии.
Например:
1) В прямоугольном треугольнике найдите катеты, если его гипотенуза равна 5 см, а один из углов равен .
2) В прямоугольном треугольнике катет равен 4 см, а прилежащий к нему угол равен . Найдите другой катет и гипотенузу.
3) В треугольнике ABC: AB=3см, BC=6 см,
. Определите
.
4) В треугольнике ABC известны стороны: AB=4 см; BC=5 см; AC=6 см.
Найдите угол B.