Реферат: Канонічні рівняння кривих другого порядку
План
- Канонічні рівняння кривих другого порядку
- Еліпс.
- Гіпербола.
- Парабола.
- Рівняння еліпса, гіперболи, параболи в полярних координатах.
1. Криві другого порядку на площині
Множині рівнянь, що зв’язують дві змінні у деякій плоскій системі координат, відповідає множина кривих найрізноманітніших форм. Пряма лінія – частинний випадок кривої. Криву можна розглядати як слід переміщення точки. У математиці криву задають аналітично, тобто її рівнянням.
Тут ми розглянемо лише криві другого порядку, тобто їх рівняння є алгебраїчними рівняннями відносно двох змінних, які входять у нього не вище як у другому степені. Отже, в загальному плані крива другого порядку описується рівнянням
, (3.36)
де - деякі коефіцієнти.
Найпоширеніші з кривих другого порядку – еліпс і його частинний випадок – коло, гіпербола і парабола. Про еліпс згадується ще у середній школі у зв’язку з вивченням закону всесвітнього тяжіння і рухом планет навколо Сонця та рухом штучних супутників навколо Землі. Спостерігаючи за рухом планет навколо Сонця, Кеплер склав таблиці, що описували їх положення на небесній сфері і підтверджували той факт, що всі планети рухаються навколо Сонця по еліпсах. Французький вчений Левер’є, аналізуючи таблиці Кеплера, прийшов до висновку, що в русі останньої на той час планети Уран спостерігаються значні відхилення від еліптичної траєкторії. Він робить припущення, що причиною цих відхилень є невідома на той час планета, яка знаходиться далі від Сонця, ніж Уран. Після тривалих і складних обчислень він знаходить координати нової планети. Тому про нову планету (її потім було названо Нептуном) кажуть, що вона була відкрита “на кінчику олівця”.
З еліпсом доводиться мати справу і в техніці: еліптичний циркуль для креслення еліпса і на його зворотній дії побудовано патрон Леонардо да Вінчі для верстатів, за допомогою яких обробляються деталі з перерізом еліптичної форми. У конструкціях ряду верстатів застосовуються зубчасті еліптичні передачі (рис.3.16).
Загальновідомо також, що від прожектора світлові промені йдуть паралельним пучком, а їх дзеркала параболічні, тобто будь-який їх осьовий переріз є параболою. І навпаки, лінза з осьовим параболічним перерізом збирає паралельні промені в одну точку. На цій основі можна за допомогою такої лінзи одержувати в її фокусі високі температури.
Рис.3.16
3.6.1. Еліпс
Нехай у рівнянні (3.40) дорівнюють нулю, коефіцієнти і мають однаковий знак, протилежний знаку . Тоді рівняння кривої матиме вигляд ,
.
Оскільки і , то можна покласти , . Тоді рівняння набере вигляду
. (3.37)
Крива, що описується цим рівнянням, називається еліпсом. При заміні на і на рівняння не змінюється, тому крива (3.37) є центрально-симетричною фігурою, тобто її центром є початок координат .
При матимемо , а при . Виразимо з (3.37)
Виразимо з (3.37) через . Тоді для першої чверті матимемо
. (3.38)
Очевидно, що , тобто .
Це означає, враховуючи центральну симетричність кривої (3.37), що еліпс розміщений між двома прямими і . Аналогічно можна показати, що еліпс (3.37) розміщений і між прямими і . Отже, еліпс розміщений всередині прямокутника, визначеного вказаними чотирма прямими. З центральної симетричності еліпса і попередніх міркувань випливає, що еліпс дотикається до сторін вказаного прямокутника в точках з координатами: .
Ці точки називаються вершинами еліпса, а відрізки і - його осями. Початок координат – точка є центром еліпса. Відрізки і - його осями. Початок координат – точка є центром еліпса. Відрізки і - осі еліпса, а їх половини – півосі. При цьому вісь осі називатимемо великою віссю еліпса, а вісь осі - малою.
Розглянемо на осі дві точки і , а на кривій довільну точку . Нехай сума дорівнює деякому числу , тобто
Після звільнення у цій рівності від ірраціональностей (пропонується читачеві виконати це самостійно), одержимо
.
Щоб ця рівність збігалася з (3.41), треба прийняти і
. Отже, . Звідси випливає, що на осі всередині прямокутника існують дві точки і ,
що сума їх віддалей від довільної точки еліпса дорівнює - великій осі еліпса.
--> ЧИТАТЬ ПОЛНОСТЬЮ <--