Реферат: Канонічні рівняння кривих другого порядку

Очевидно, що при будь-яких матимемо . Якщо прямує до , то вираз в дужках є невизначеністю типу . Для її розкриття помножимо і поділимо праву частину на . Тоді одержимо

.

Тепер уже очевидно, що при різниця прямує до нуля, тобто прямує до злиття з кривою .

На основі викладених міркувань легко побудувати схематично криву, що зображається першим з рівнянь (3.40), якщо врахувати при цьому, що відповідна крива центральносиметрична (рис. 3.20).

Побудову гіперболи найкраще виконувати, перш за все побудувавши її асимптоти. Точки і називаються вершинами гіперболи, вісь - дійсною, а вісь - уявною осями гіперболи.

Як і у випадку еліпса, розглянемо дві точки і ,

, а також точку на кривій. Запишемо різницю:

.

Після тотожних перетворень одержимо

.

Щоб ця рівність збігалася з (3.40), повинно бути .

Рис. 3.20

Оскільки , то . Звідси одержуємо таке означення гіперболи.

Гіперболою називається множина точок, різниця віддалей яких від двох даних точок є сталою величиною. Точки і називаються фокусами гіперболи. Якщо у рівнянні гіперболи , то вона називається рівносторонньою, бо її дійсна і уявна осі рівні між собою.

Вісь називається уявною, тому що з рівняння гіперболи при одержуємо , де - уявна одиниця.

Введемо в розгляд фокальні радіуси гіперболи . Тоді на основі означення гіперболи одержимо . Як і у рівнянні еліпса, маємо

.

З цих двох рівнянь маємо

де .

Величина називається ексцентриситетом гіперболи. Як і у випадку

еліпса, прямі називаються директрисами гіперболи. Через те, що , директриси розміщені між вітками гіперболи.

Так само, як і у випадку еліпса, можна довести, що відношення віддалей будь-якої точки гіперболи до фокуса і відповідної директриси є величина стала і дорівнює .

У курсі математики і, особливо, в прикладних її розділах велику роль відіграють гіперболічні функції

.

Легко довести, що .

Розглянемо тепер гіперболу

.