Реферат: Канонічні рівняння кривих другого порядку

З формули (3.38) очевидно, що при збільшенні від до величина зменшується від до

Оскільки друга похідна функції (3.42) по від’ємна то у першій чверті крива опукла.

Враховуючи крім того центральну симетричність еліпса, тепер можна здійснити його схематичну побудову (рис.3.17).

Рис.3.17

Точну побудову еліпса можна здійснити так: у точках і прикріплюється нитка певної довжини. Якщо її натягнути, потім, тримаючи нитку натягнутою, олівцем описати замкнену криву, то вона і буде згідно з означенням еліпсом.

Еліпс одержується механічно шляхом обертання гнучкого круга кільцевої форми (рис.3.18).

Слід зауважити, що звичайним циркулем еліпс побудувати неможливо, бо будь-якої довжини дуга не може збігатися з будь-якою частиною еліпса. Фігура, подібна за формою до еліпса і побудована за допомогою циркуля, не еліпс, а овал.

Ексцентриситетом еліпса називається відношення віддалі

між фокусами еліпса до довжини великої осі: .

Рис. 3.18

Оскільки то . Для кола . Тому ексцентриситет кола дорівнює нулю.

Позначимо Величини назвемо фокальними радіусами. З означення еліпса маємо Легко встановити, що З останніх двох рівнянь одержимо

. (3.39)

На рис. 3.19 зображено еліпс і прямі , довільна точка , її віддаль від прямої . Розглянемо відношення Якщо то Те саме можна виконати і з прямою . Отже, одержимо дві прямі . Ці дві прямі називаються директрисами еліпса. Із сказаного приходимо до такого висновку: відношення віддалей будь-якої точки еліпса до фокуса і відповідної директриси є величина стала, що дорівнює ексцентриситету еліпса.

Якщо ексцентриситет еліпса зменшується, то директриса еліпса віддаляються від нього, сам еліпс стає все більш опуклим і у граничному випадку, коли він стає рівним нулю, директриси віддаляються на нескінченність. Це означає, що коло не має директрис. При збільшенні ексцентриситету еліпс стає все більше розтягнутим, а директриси при цьому стають все ближчими до еліпса.

Рис. 3.19

Нехай потрібно знайти дотичну до еліпса у точці , що належить еліпсу. Розглянемо довільну пряму , що проходить через точку . У рівняння еліпса замість підставимо і розв’яжемо квадратне рівняння

В результаті одержимо квадратне рівняння відносно . Щоб одержане рівняння мало лише один розв’язок, тобто щоб вказана пряма була дотичною до еліпса у точці , необхідно і достатньо, щоб дискримінант квадратного рівняння відносно дорівнював нулю. З цієї умови знайдемо . Після цього вже легко записати рівняння дотичної. Читачеві пропонується довести вказаним способом, що рівняння дотичної матиме вигляд

Цю ж задачу можна розв’язати і за допомогою похідної.

Приклад. Написати рівняння дотичної, що проходить через точку , до еліпса

Р о з в ’ я з о к. Нехай рівняння дотичної має вигляд

Тоді, підставивши у рівняння еліпса, одержимо:

.