Реферат: Канонічні рівняння кривих другого порядку

є параметричним рівняння гіперболи.

Рівняння дотичної прямої до гіперболи в точці , що лежить на гіперболі, має вигляд

Приклад. На площині задано дві точки (рис. 3.21). Дві прямі обертаються навколо цих точок у протилежних напрямках з однаковою кутовою швидкістю. Перед початком руху одна з прямих збігається з прямою , друга - перпендикулярна до . Знайти рівняння кривої, що описується точкою перетину прямих, що обертаються.

Р о з в ’ я з о к. Вісь проведено через точки , а вісь через точку - середину відрізка перпендикулярно до . Розглянемо проміжне положення двох прямих, що обертаються. Нехай вони перетинаються у точці , причому їх кутові швидкості обертання дорівнюють . Нехай від початку руху пройшов час . Тоді .

З рис .3.29 маємо

;

.

Звідси .

Рис. 3.21

Отже траєкторією точки перетину прямих є рівнобічна гіпербола.

3.6.3.Парабола

Нехай в (3.36) всі коефіцієнти, крім і дорівнюють нулю. Тоді матимемо або

, (3.42)

де . Зрозуміло, що коли , то , і коли , то .

Розглянемо випадок, коли .

Крива, що описується рівнянням (3.42), називається параболою.

Виходячи лише з рівняння (3.42), вивчимо її властивості, форму і побудуємо графік.

З самого рівняння ясно, що відповідна крива симетрична відносно осі , бо при заміні на рівняння не змінюється. Оскільки , то графік параболи розміщений у І-й і ІУ-й чвертях. Обмежуючись тимчасово І чвертю, встановимо її властивості. Маємо . Ясно, що крива проходить через початок координат, що при зростанні зростає і , що , а це означає, що відповідна крива є опуклою.

Отже, її графік має вигляд рис.3.22.

Рис. 3.22

Розглянемо деяку точку і пряму і обчислимо : , . Вияснимо, при яких рівність збігається з (3.42).

Звільнившись від ірраціональності, після спрощення, одержимо . Тоді . Враховуючи все це, приходимо до висновку, що співпадання з рівнянням (3.42) відбудеться при тобто а це означає, що .

Виходячи з цього, маємо таке означення параболи: параболою називається множина точок, рівновіддалених від даної точки, яка називається фокусом, і даної прямої, що називається директрисою.

З описаного випливає, що парабола має лише одну директрису , що фокус параболи знаходиться в точці і що її ексцентриситет .

Всі три криві (еліпс, гіпербола і парабола) визначають множину точок площини, відношення яких від даної точки (фокуса) до віддалі від даної точки до даної прямої (директриси) є величина стала .