Реферат: Канонічні рівняння кривих другого порядку

.

Щоб пряма була дотичною до еліпса, треба, щоб попереднє рівняння мало лише один розв’язок. Це буде тоді, коли його дискримінант дорівнює нулю, тобто

.

Після скорочення на 4 матимемо

У результаті спрощень приходимо до рівняння

звідки

Отже через задану точку до еліпса можна провести дві дотичні:

Зауваження. У цьому прикладі не лежить на еліпсі. Тому безпосередньо скористатись наведеною формулою для дотичної неможливо, бо формула виведена для того випадку, коли точка, через

яку треба провести дотичну, лежить на еліпсі.

Рівняння еліпса у прямокутних координатах має вигляд

Очевидно, що коли в рівняння еліпса замість і підставити відповідно і , то одержимо тотожність , то одержимо тотожність , тобто формули задовольняють рівняння еліпса. Тому теж є рівняннями еліпса. Ці рівняння називають параметричними рівняннями еліпса , бо тут залежать від параметра . Параметричними рівняннями можуть описуватись і криві, значно складніші за еліпс. Наприклад, крива

не є еліпсом. Але її теж можна описати параметричними рівняннями:

.

Вони значно простіші, ніж рівняння, задане в прямокутній системі координат.

3.6.2. Гіпербола

Якщо в рівняння (3.40) всі коефіцієнти, крім і дорівнюють нулю, причому мають різні знаки, то одержимо

.

Останнє рівняння можна записати у вигляді

, (3.40)

де або

Далі детально зупинимось на першому з рівнянь (3.40) (із знаком “+ “ в правій частині). Крива, що описується цим рівнянням, називається гіперболою . Як у випадку еліпса, вона є центральносиметричною кривою. (Чому?) Виразимо з рівняння гіперболи змінну через , вважаючи, що і (перша чверть):

(3.41)

Областю визначення цієї функції є , причому при

зростанні від до зростає від нуля до . Оскільки , то крива (3.41) опукла.

Розглянемо пряму і оцінимо різницю