Реферат: Кольца и полукольца частных
Предложение1 . Отношение ~ является отношением эквивалентности на .
Покажем, что ~ является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.
1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца ;
2. Симметричность: ;
3.Транзитивность: Таким образом, отношение ~ является отношением эквивалентности на
.
Полукольцо разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении ~. Обозначим
класс эквивалентности пары
. Введём операции на множестве
всех классов эквивалентности:
т.к. для
,
,
выполнено
отсюда т.к.
получаем
и поскольку
то
следовательно
.
Покажем корректность введённых операций:
Пусть ,
, тогда
▲
Теорема1 . - коммутативное полукольцо с 1.
.
Доказательство.
Чтобы доказать, что множество всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:
сложение: для и
1.
2.
Так как правые части равны, то левые части тоже равны:
3. покажем, что для .
Так как
Класс является нейтральным по +:
Из равенства тогда
.
Для составляет отдельный класс, играющий в
роль нуля.
умножение: для и
1.